Un mobile M (une voiture) se déplace suivant un axe X’OX. Son digramme de vitesse est 
donné sur la figure ci-dessous. On suppose qu’à l’instant t=0 (s), x(0)= -1 (m).
A partir du diagramme :
1) Calculer les positions du mobile aux instants 1(s) et 4 (s).
2) Retrouver la distance parcourue pendant les quatre premières secondes. Quelle est sa 
vitesse scalaire moyenne.
3) Calculer la vitesse moyenne entre les instants 1(s) et 4 (s).
4) Déterminer son accélération instantanée 
à l’ instant t= 1(s)
5) Déterminer son accélération moyenne sur
l’intervalle [1s, 5s].
6) Pour décrire le mouvement du mobile, préciser :
a- La vitesse à l’instant initial t=0 (s).
b- Le sens de son mouvement à l’instant initial.
c- L’instant et la position auxquelles il rebrousse le chemin.
7) Donner les différentes phases du mouvement et leurs natures
8) Retrouver l’équation horaire du mouvement et tracer 
le digramme des espaces.

To tackle this problem, we need to carefully analyze the velocity-time graph (speed diagram) and use it to find the required kinematic information. Here's a structured approach to solve each part:

### Given Data:
- \( t = 0 \): \( x(0) = -1 \) m
- We’ll interpret specific values from the velocity-time graph to solve the problem.

### Solutions:

#### 1. Calculating the Position of the Mobile at \( t = 1 \) s and \( t = 4 \) s
To find the position at \( t = 1 \) s and \( t = 4 \) s, we use the relationship between velocity and displacement:
\[
x(t) = x(0) + \int_{0}^{t} v(t) \, dt
\]
We need to interpret the area under the velocity curve between \( t = 0 \) s and \( t = 1 \) s, and between \( t = 0 \) s and \( t = 4 \) s. Positive areas represent displacement in the positive \( x \)-direction, while negative areas indicate displacement in the opposite direction.

#### 2. Total Distance Traveled and Average Scalar Speed in the First 4 Seconds
The distance is the sum of absolute values of the areas under the curve from \( t = 0 \) s to \( t = 4 \) s. To find the average speed, use:
\[
\text{Average speed} = \frac{\text{Total distance traveled}}{\text{Total time}} = \frac{\text{Total distance}}{4 \, \text{s}}
\]

#### 3. Average Velocity Between \( t = 1 \) s and \( t = 4 \) s
The average velocity over the interval from \( t = 1 \

Un mobile M (une voiture) se déplace suivant un axe X’OX. Son digramme de vitesse est donné sur la figure ci-dessous. On suppose qu’à l’instant t=0 (s), x(0)= -1 (m). A partir du diagramme : 1) Calculer les positions du mobile aux instants 1(s) et 4 (s). 2) Retrouver la distance parcourue pendant les quatre premières secondes. Quelle est sa vitesse scalaire moyenne. 3) Calculer la vitesse moyenne entre les instants 1(s) et 4 (s). 4) Déterminer son accélération instantanée à l’instant t= 1(s). 5) Déterminer son accélération moyenne sur l’intervalle [1s, 5s]. 6) Pour décrire le mouvement du mobile, préciser : a- La vitesse à l’instant initial t=0 (s). b- Le sens de son mouvement à l’instant initial. c- L’instant et la position auxquelles il rebrousse le chemin. 7) Donner les différentes phases du mouvement et leurs natures 8) Retrouver l’équation horaire du mouvement et tracer le digramme des espaces.

Learn how to solve kinematics problems involving velocity-time graphs. This problem covers calculating positions at specific times, finding total distance traveled, determining average velocity and acceleration, and deriving the motion equation. Suitable for high school students in Grades 11-12 studying mechanics.

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