Ukuran sisi sebuah segitiga siku-siku membentuk suatu barisan aritmetika. Jika luas segitiga tersebut sama dengan 216 satuan luas, maka keliling segitiga tersebut adalah ...

Diketahui bahwa sisi-sisi sebuah segitiga siku-siku membentuk suatu barisan aritmetika. Jika luas segitiga tersebut adalah 216 satuan luas, kita dapat menggunakan informasi ini untuk menentukan keliling segitiga.

Mari kita asumsikan bahwa panjang sisi-sisi segitiga siku-siku adalah \(a\), \(a+d\), dan \(a+2d\), di mana \(a\) adalah panjang sisi terpendek dan \(d\) adalah beda barisan aritmetika. Karena segitiga ini adalah segitiga siku-siku, maka berlaku teorema Pythagoras:

\[
a^2 + (a+d)^2 = (a+2d)^2
\]

Selain itu, luas segitiga siku-siku dapat dihitung dengan rumus:

\[
L = \frac{1}{2} \times \text{sisi alas} \times \text{sisi tinggi}
\]

Dengan luas \(L = 216\), maka:

\[
\frac{1}{2} \times a \times (a+d) = 216
\]

\[
a(a+d) = 432
\]

Sekarang kita punya dua persamaan:
1. \(a(a+d) = 432\)
2. \(a^2 + (a+d)^2 = (a+2d)^2\)

Kita akan mulai menyelesaikan kedua persamaan ini. Mari kita selesaikan langkah demi langkah.

### 1. Menyelesaikan persamaan \(a(a+d) = 432\):

\[
a(a+d) = 432
\]
\[
a^2 + ad = 432
\]

### 2. Menyelesaikan persamaan Pythagoras:

Kita ekspansi kedua sisi dari persamaan \(a^2 + (a+d)^2 = (a+2d)^2\):

\[
a^2 + (a^2 + 2ad + d^2) = a^2 + 4ad + 4d^2
\]
\[
2a^2 + 2ad + d^2 = a^2 + 4ad + 4d^2
\]

Sederhanakan:

\[
2a^2 + 2ad + d^2 = a^2 + 4ad + 4d^2
\]
\[
a^2 - 2ad - 3d^2 = 0
\]

Sekarang kita punya sistem persamaan kuadrat yang dapat kita selesaikan secara bersamaan. Mari selesaikan ini.

Dari penyelesaian sistem persamaan, kita mendapatkan dua solusi: \(a = 18, d = 6\) atau \(a = -18, d = -6\). Namun, karena panjang sisi segitiga harus positif, kita ambil solusi \(a = 18\) dan \(d = 6\).

Jadi, panjang sisi-sisi segitiga adalah:
- Sisi pertama: \(a = 18\)
- Sisi kedua: \(a + d = 18 + 6 = 24\)
- Sisi ketiga: \(a + 2d = 18 + 2(6) = 30\)

Selanjutnya, kita hitung keliling segitiga:

\[
K = 18 + 24 + 30 = 72
\]

Jadi, keliling segitiga tersebut adalah 72 satuan panjang.

Ingin penjelasan lebih lanjut atau ada pertanyaan lain? Berikut 5 pertanyaan terkait yang dapat memperdalam pemahaman:

1. Bagaimana cara teorema Pythagoras membantu dalam menyelesaikan masalah segitiga siku-siku?
2. Apa yang dimaksud dengan barisan aritmetika dalam konteks panjang sisi-sisi segitiga?
3. Mengapa solusi negatif untuk \(a\) dan \(d\) tidak diterima dalam konteks ini?
4. Bagaimana rumus luas segitiga berlaku khusus untuk segitiga siku-siku?
5. Bagaimana pengaruh perubahan beda \(d\) pada panjang sisi segitiga?

**Tip:** Dalam soal-soal geometri, gunakan teorema dasar seperti Pythagoras dan sifat barisan untuk menyusun persamaan yang memudahkan solusi.

Pelajari cara menghitung keliling segitiga siku-siku yang sisinya membentuk barisan aritmetika dan memiliki luas 216 satuan luas. Menggunakan teorema Pythagoras dan konsep barisan aritmetika, soal ini cocok untuk siswa kelas 9-12.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation