Math Problem Statement
به فارسی حل کن
Solution
برای حل این سوال مراحل زیر را طی می‌کنیم:
سوال:
دو متغیر تصادفی و از بازه انتخاب شده‌اند. متغیرهای جدید و تعریف شده‌اند. تابع چگالی مشترک و را بیابید.
۱. مرحله اول: تابع چگالی اولیه
فرض می‌کنیم که و دارای چگالی احتمال یکنواخت در بازه هستند:
\begin{cases} 1 & \text{اگر } 0 \leq x, y \leq 1 \\ 0 & \text{در غیر این صورت.} \end{cases}$$ --- ### ۲. مرحله دوم: تبدیل متغیرها با استفاده از تغییر متغیرها داریم: $$U = X + Y, \quad V = \frac{X}{X + Y}.$$ بر اساس تعریف $$U$$ و $$V$$: - مقدار $$U$$ در بازه $$(0,2)$$ قرار می‌گیرد (چون $$0 \leq X,Y \leq 1$$). - مقدار $$V$$ در بازه $$(0,1)$$ قرار دارد. --- ### ۳. محاسبه ژاکوبین تبدیل برای تبدیل، نیاز به ژاکوبین تغییر متغیر داریم. معادلات معکوس $$X$$ و $$Y$$ را برحسب $$U$$ و $$V$$ محاسبه می‌کنیم: $$X = UV, \quad Y = U(1-V).$$ ماتریس ژاکوبین به‌صورت زیر است: $$J = \begin{bmatrix} \frac{\partial X}{\partial U} & \frac{\partial X}{\partial V} \\ \frac{\partial Y}{\partial U} & \frac{\partial Y}{\partial V} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} V & U \\ 1-V & -U \end{bmatrix}.$$ دترمینان ژاکوبین: $$\text{det}(J) = \left| \begin{array}{cc} V & U \\ 1-V & -U \end{array} \right| = (-U)(V) - (U)(1-V) = -UV - U + UV = -U.$$ مقدار مطلق دترمینان: $$|\text{det}(J)| = U.$$ --- ### ۴. تابع چگالی مشترک $$U$$ و $$V$$ تابع چگالی جدید به‌صورت زیر است: $$f_{U,V}(u,v) = f_{X,Y}(x,y) \cdot |\text{det}(J)|.$$ چون $$f_{X,Y}(x,y) = 1$$ در محدوده تعریف: $$f_{U,V}(u,v) = 1 \cdot U = U,$$ با شرط‌های زیر: $$0 \leq u \leq 2, \quad 0 \leq v \leq 1.$$ --- ### نتیجه نهایی: $$f_{U,V}(u,v) = \begin{cases} u & \text{اگر } 0 \leq u \leq 2, \, 0 \leq v \leq 1 \\ 0 & \text{در غیر این صورت.} \end{cases}$$ آیا نیاز به جزئیات بیشتری دارید؟ ### سوالات مرتبط: 1. چگونه چگالی نهایی را برای $$V$$ به‌تنهایی محاسبه کنیم؟ 2. چه زمانی نیاز به محاسبه دترمینان ژاکوبین داریم؟ 3. آیا این روش برای هر تابع چگالی یکنواخت قابل اعمال است؟ 4. چگالی نهایی چه تأثیری بر استقلال متغیرهای $$U$$ و $$V$$ دارد؟ 5. آیا می‌توان چگالی شرطی $$f_{V|U}(v|u)$$ را محاسبه کرد؟ #### نکته: همیشه محدوده تعریف متغیرهای جدید را بررسی کنید تا تابع چگالی به درستی تعریف شود.Ask a new question for Free
By Image
Drop file here or Click Here to upload
Math Problem Analysis
Mathematical Concepts
Probability
Joint Density Function
Change of Variables
Formulas
f_{X,Y}(x,y) = 1 for 0 ≤ x, y ≤ 1
U = X + Y
V = X / (X + Y)
Jacobian Determinant |det(J)| = U
Theorems
Jacobian for Change of Variables
Suitable Grade Level
University Level (Probability and Statistics)
Related Recommendation
Joint PDF of U = X + Y and V = e^X for Exponential Random Variables
Transformation of Joint Density Functions for Random Variables X, Y to U = XY, V = X / Y
Finding the Density Function of Z = X * Y Using Transformation of Random Variables
Understanding the Transformation Formula for Joint Densities
Calculate Joint Density Function fXY(x,y) for Uniform Distribution