Pour déterminer si $\frac{1}{2}$ est un majorant de la fonction $f(x) = \frac{2}{x-1} - \sqrt{x+3} + 1$, il faut vérifier si, pour tout $x$ appartenant au domaine de $f$, on a $f(x) \leq \frac{1}{2}$.

1. Domaine de définition : La fonction $f(x)$ est définie si :

   • $x \neq 1$ (pour éviter la division par zéro dans $\frac{2}{x-1}$).
   • $x + 3 \geq 0$, c’est-à-dire $x \geq -3$ (pour que $\sqrt{x+3}$ soit défini).

   Le domaine de $f$ est donc $x \in [-3, 1) \cup (1, \infty)$.

2. Comportement de la fonction :

   • Pour $x \rightarrow 1^+$ et $x \rightarrow 1^-$, la fonction $f(x)$ tend vers $+\infty$ car $\frac{2}{x-1}$ diverge positivement.
   • Pour $x \rightarrow -3$, $f(x)$ tend vers $+\infty$ car $\sqrt{x+3}$ tend vers 0 négativement et $\frac{2}{x-1}$ tend vers un nombre positif.
   • Pour $x \rightarrow +\infty$, on a : $\frac{2}{x-1} \approx 0, \quad \sqrt{x+3} \approx \sqrt{x}$ donc $f(x) \approx -\sqrt{x}$, ce qui tend vers $-\infty$.

3. Étude des bornes :

   • On vérifie la valeur de $f(x)$ en quelques points :
     • Pour $x = 2$, $f(2) = \frac{2}{1} - \sqrt{5} + 1 \approx 3 - 2.236 + 1 = 1.764$.
     • Pour $x = 3$, $f(3) = \frac{2}{2} - 2 + 1 = 0$.
     • Pour $x = 4$, $f(4) = \frac{2}{3} - \sqrt{7} + 1 \approx 0.666 - 2.645 + 1 = -0.979$.

4. Conclusion :

   • Il semble que pour certains $x$, comme $x = 2$, $f(x) > \frac{1}{2}$, donc $\frac{1}{2}$ n'est pas un majorant global de la fonction.

Souhaitez-vous des détails supplémentaires ou avez-vous des questions sur une partie spécifique ?

Questions relatives :

1. Comment prouver rigoureusement l'existence d'un maximum local pour $f(x)$ ?
2. Quelle est la valeur maximale de $f(x)$ sur l'intervalle $[-3, 4]$ ?
3. Comment calculer les dérivées pour étudier la croissance et décroissance de $f(x)$ ?
4. Peut-on trouver un autre majorant plus précis pour $f(x)$ ?
5. Comment étudier le comportement de $f(x)$ en $x = 1$ plus précisément ?

Tip :

Utiliser les dérivées premières et secondes permet de déterminer les points critiques et la concavité d'une fonction, facilitant ainsi l'identification des maxima et minima.