Для бинарных отношений $R_1$ и $R_2$, определённых на множестве $M$, давайте рассмотрим каждое из равенств по отдельности.

1. Проверка первого равенства

$(R_1 \cup R_2)^{-1} = R_1^{-1} \cup R_2^{-1}$

Здесь:

• $(R_1 \cup R_2)^{-1}$ обозначает обратное отношение для объединения $R_1 \cup R_2$.
• $R_1^{-1}$ и $R_2^{-1}$ — обратные отношения к $R_1$ и $R_2$ соответственно.

Доказательство:

Определение обратного отношения: $(a, b) \in R^{-1} \iff (b, a) \in R$

Рассмотрим элементы $(a, b)$ и $(b, a)$ в каждом из отношений.

• Если $(b, a) \in (R_1 \cup R_2)$, то $(b, a)$ принадлежит либо $R_1$, либо $R_2$, либо обоим.
• Значит, $(a, b)$ принадлежит либо $R_1^{-1}$, либо $R_2^{-1}$, либо обоим, что означает, что $(a, b) \in R_1^{-1} \cup R_2^{-1}$.

Следовательно, $(R_1 \cup R_2)^{-1} = R_1^{-1} \cup R_2^{-1}$ является верным равенством.

2. Проверка второго равенства

$(R_1 \cap R_2)^{-1} = R_1^{-1} \cap R_2^{-1}$

Здесь:

• $(R_1 \cap R_2)^{-1}$ обозначает обратное отношение для пересечения $R_1 \cap R_2$.
• $R_1^{-1}$ и $R_2^{-1}$ — обратные отношения к $R_1$ и $R_2$ соответственно.

Доказательство:

Рассмотрим элементы $(a, b)$ и $(b, a)$ в каждом из отношений.

• Если $(b, a) \in (R_1 \cap R_2)$, то $(b, a)$ принадлежит одновременно и $R_1$, и $R_2$.
• Следовательно, $(a, b)$ принадлежит как $R_1^{-1}$, так и $R_2^{-1}$, что означает, что $(a, b) \in R_1^{-1} \cap R_2^{-1}$.

Таким образом, $(R_1 \cap R_2)^{-1} = R_1^{-1} \cap R_2^{-1}$ также является верным равенством.

Ответ

Оба равенства являются верными для любых бинарных отношений $R_1$ и $R_2$, определённых на множестве $M$.

Хотите ли вы получить более детальное объяснение по какому-либо из шагов?

Вопросы для размышления:

1. Как определить обратное отношение для отношения на множестве?
2. Какие свойства обратных отношений можно использовать при доказательстве равенств?
3. Как изменяются операции объединения и пересечения в случае применения обратных отношений?
4. Что произойдёт, если использовать композицию отношений вместо их объединения или пересечения?
5. Какие примеры бинарных отношений можно использовать для проверки данных равенств?

Совет: Помните, что обратное отношение не изменяет количество элементов, но меняет их порядок в парах.