Рассмотрим каждое из данных равенств отдельно.

1. Проверка первого равенства:

$(R_1 \cup R_2)^{-1} = R_1^{-1} \cup R_2^{-1}$

Определение:

• $R^{-1}$ — это обратное отношение для $R$, в котором пары $(a, b)$ заменяются на $(b, a)$. То есть: $R^{-1} = \{(b, a) \mid (a, b) \in R\}$
• $R_1 \cup R_2$ — это объединение отношений, содержащее все пары, которые находятся хотя бы в одном из отношений $R_1$ или $R_2$.

Теперь проверим, верно ли, что инверсия объединения равна объединению инверсий.

Доказательство:

1. Пусть $(b, a) \in (R_1 \cup R_2)^{-1}$. Это значит, что $(a, b) \in R_1 \cup R_2$, то есть либо $(a, b) \in R_1$, либо $(a, b) \in R_2$.

   В обоих случаях, либо $(b, a) \in R_1^{-1}$, либо $(b, a) \in R_2^{-1}$. Следовательно, $(b, a) \in R_1^{-1} \cup R_2^{-1}$.

2. Пусть $(b, a) \in R_1^{-1} \cup R_2^{-1}$. Это значит, что либо $(b, a) \in R_1^{-1}$, либо $(b, a) \in R_2^{-1}$, что эквивалентно тому, что либо $(a, b) \in R_1$, либо $(a, b) \in R_2$.

   Следовательно, $(a, b) \in R_1 \cup R_2$, что означает $(b, a) \in (R_1 \cup R_2)^{-1}$.

Таким образом, равенство $(R_1 \cup R_2)^{-1} = R_1^{-1} \cup R_2^{-1}$ верно.

2. Проверка второго равенства:

$(R_1 \cap R_2)^{-1} = R_1^{-1} \cap R_2^{-1}$

Определение:

• $R_1 \cap R_2$ — это пересечение отношений, содержащее только те пары, которые принадлежат как $R_1$, так и $R_2$.

Теперь проверим, верно ли, что инверсия пересечения равна пересечению инверсий.

Доказательство:

1. Пусть $(b, a) \in (R_1 \cap R_2)^{-1}$. Это значит, что $(a, b) \in R_1 \cap R_2$, то есть $(a, b) \in R_1$ и ( (a, b) \in R