6. Верно ли каждое из следующих равенств

(R1∪R2)−1=R1−1∪R2−1(*R*1​∪*R*2​)−1=*R*1−1​∪*R*2−1​;

(R1∩R2)−1=R1−1∩R2−1(*R*1​∩*R*2​)−1=*R*1−1​∩*R*2−1​

для бинарных отношений R1*R*1​ и R2*R*2​, определённых на произвольном множестве M*M*? Ответ «да», надо обосновать, ответ «нет» аргументировать приведением примера.

Рассмотрим каждое из данных равенств отдельно.

### 1. Проверка первого равенства:
\[
(R_1 \cup R_2)^{-1} = R_1^{-1} \cup R_2^{-1}
\]

#### Определение:
- \( R^{-1} \) — это обратное отношение для \( R \), в котором пары \( (a, b) \) заменяются на \( (b, a) \). То есть:
  \[
  R^{-1} = \{(b, a) \mid (a, b) \in R\}
  \]
- \( R_1 \cup R_2 \) — это объединение отношений, содержащее все пары, которые находятся хотя бы в одном из отношений \( R_1 \) или \( R_2 \).

Теперь проверим, верно ли, что инверсия объединения равна объединению инверсий.

#### Доказательство:
1. Пусть \( (b, a) \in (R_1 \cup R_2)^{-1} \). Это значит, что \( (a, b) \in R_1 \cup R_2 \), то есть либо \( (a, b) \in R_1 \), либо \( (a, b) \in R_2 \).
   
   В обоих случаях, либо \( (b, a) \in R_1^{-1} \), либо \( (b, a) \in R_2^{-1} \). Следовательно, \( (b, a) \in R_1^{-1} \cup R_2^{-1} \).

2. Пусть \( (b, a) \in R_1^{-1} \cup R_2^{-1} \). Это значит, что либо \( (b, a) \in R_1^{-1} \), либо \( (b, a) \in R_2^{-1} \), что эквивалентно тому, что либо \( (a, b) \in R_1 \), либо \( (a, b) \in R_2 \).

   Следовательно, \( (a, b) \in R_1 \cup R_2 \), что означает \( (b, a) \in (R_1 \cup R_2)^{-1} \).

Таким образом, равенство
\[
(R_1 \cup R_2)^{-1} = R_1^{-1} \cup R_2^{-1}
\]
**верно**.

### 2. Проверка второго равенства:
\[
(R_1 \cap R_2)^{-1} = R_1^{-1} \cap R_2^{-1}
\]

#### Определение:
- \( R_1 \cap R_2 \) — это пересечение отношений, содержащее только те пары, которые принадлежат как \( R_1 \), так и \( R_2 \).

Теперь проверим, верно ли, что инверсия пересечения равна пересечению инверсий.

#### Доказательство:
1. Пусть \( (b, a) \in (R_1 \cap R_2)^{-1} \). Это значит, что \( (a, b) \in R_1 \cap R_2 \), то есть \( (a, b) \in R_1 \) и \( (a, b) \in R

Верно ли каждое из следующих равенств (R1∪R2)−1=R1−1∪R2−1 и (R1∩R2)−1=R1−1∩R2−1 для бинарных отношений R1 и R2, определённых на произвольном множестве M?

Explore the proof of whether the inverse of the union and intersection of binary relations holds true. This problem examines core concepts in set theory, including binary relations and their inverses. Suitable for university-level discrete mathematics.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation