Давайте разберём оба утверждения.

---

Утверждение (а):

$P_1 \cup P_2 = \neg P_1 \cup \neg P_2$

Проверка:

1. Обозначения:

   • $P_1$: бинарное отношение, множество пар.
   • $P_2$: бинарное отношение, множество пар.
   • $\neg P_1$: дополнение $P_1$, т.е. все пары, которые не принадлежат $P_1$.

2. Рассмотрим левую часть: $P_1 \cup P_2$.

   • Это множество всех пар, которые принадлежат хотя бы $P_1$ или $P_2$.

3. Рассмотрим правую часть: $\neg P_1 \cup \neg P_2$.

   • Это множество всех пар, которые не принадлежат $P_1$ или не принадлежат $P_2$.

4. Чтобы проверить равенство, вспомним, что $\neg (P_1 \cup P_2) = \neg P_1 \cap \neg P_2$ (законы де Моргана). Но здесь у нас наоборот: вместо пересечения ($\cap$) стоит объединение ($\cup$), что делает выражение неверным.

Вывод:

Утверждение (а) неверно.

---

Утверждение (б):

$P_1^{-1} \cup P_2^{-1} = (P_1 \cup P_2)^{-1}$

Проверка:

1. Обозначения:

   • $P_1^{-1}$: обратное отношение к $P_1$, т.е. если $(a, b) \in P_1$, то $(b, a) \in P_1^{-1}$.
   • $(P_1 \cup P_2)^{-1}$: обратное отношение к объединению $P_1 \cup P_2$.

2. Рассмотрим левую часть: $P_1^{-1} \cup P_2^{-1}$.

   • Это множество всех пар $(b, a)$, таких что либо $(a, b) \in P_1$, либо $(a, b) \in P_2$.

3. Рассмотрим правую часть: $(P_1 \cup P_2)^{-1}$.

   • Это множество всех пар $(b, a)$, таких что $(a, b)$ принадлежит объединению $P_1 \cup P_2$, т.е. $(a, b) \in P_1$ или $(a, b) \in P_2$.

4. Явно видно, что обе стороны выражения описывают одно и то же множество, поскольку операции объединения и обращения коммутируют.

Вывод:

Утверждение (б) верно.

---

Итог:

1. $P_1 \cup P_2 = \neg P_1 \cup \neg P_2$: неверно.
2. $P_1^{-1} \cup P_2^{-1} = (P_1 \cup P_2)^{-1}$: верно.

---

Если у вас есть вопросы или хотите пояснений, дайте знать!

---

5 дополняющих вопросов:

1. Какие свойства бинарных отношений используются при проверке подобных равенств?
2. Что такое законы де Моргана, и как их можно применить в теории множеств?
3. Как связаны операции объединения и дополнения в контексте бинарных отношений?
4. Можно ли доказать (б) с помощью диаграмм? Как?
5. Какими свойствами обладает обратное бинарное отношение ($P^{-1}$)?

Совет: Внимательно изучите законы де Моргана и их применение к множествам — это часто встречается в задачах с отношениями и логикой!