Math Problem Statement

Olkoot f, g : A →B kuvauksia. Anna esimerkki tilanteesta, jossa käänteisrelaatio f^−1 on kuvaus ja käänteisrelaatio g^−1 ei ole kuvaus.

Solution

Tarkastellaan esimerkkiä, jossa ff ja gg ovat kuvauksia joukosta AA joukkoon BB, mutta niiden käänteisrelaatioiden käyttäytymisessä on ero:

Tilanne

  1. Määritellään joukot:

    • A={1,2}A = \{1, 2\}
    • B={a,b,c}B = \{a, b, c\}
  2. Määritellään ff:

    • f(1)=af(1) = a
    • f(2)=bf(2) = b

    Tämä kuvaus ff on selväpiirteinen ja yksikäsitteinen, koska jokaiselle alkion xAx \in A on yksi ja vain yksi f(x)Bf(x) \in B.

  3. Määritellään gg:

    • g(1)=ag(1) = a
    • g(2)=ag(2) = a

    Tämä kuvaus gg yhdistää molemmat AA-joukon alkiot 11 ja 22 samaan BB-joukon alkioon aa.


Käänteisrelaatiot

Käänteisrelaatio f1f^{-1}:

Käänteisrelaatio f1f^{-1} on seuraava:

  • f1(a)=1f^{-1}(a) = 1
  • f1(b)=2f^{-1}(b) = 2
  • f1(c)f^{-1}(c) ei vastaa mitään AA-joukon alkiota.

Tässä f1f^{-1} on kuvaus, koska jokaiselle yBy \in B, jolle f(x)=yf(x) = y, on korkeintaan yksi xAx \in A.

Käänteisrelaatio g1g^{-1}:

Käänteisrelaatio g1g^{-1} on seuraava:

  • g1(a)={1,2}g^{-1}(a) = \{1, 2\}

Tässä g1g^{-1} ei ole kuvaus, koska alkioon aBa \in B liittyy kaksi alkiota 1,2A1, 2 \in A. Kuvaus vaatisi yksikäsitteisen vastineen, mikä ei tässä toteudu.


Yhteenveto

  • f1f^{-1} on kuvaus, koska ff on yksikäsitteinen (injektiivinen).
  • g1g^{-1} ei ole kuvaus, koska gg ei ole yksikäsitteinen (ei-injektiivinen).

Haluatko lisää yksityiskohtia tai esimerkkejä tähän liittyen?

5 jatkokysymystä:

  1. Mitä ehtoja kuvausten ff ja gg pitää täyttää, jotta niiden käänteisrelaatiot ovat kuvauksia?
  2. Mitä tarkoittaa, että kuvaus on injektiivinen tai surjektiivinen?
  3. Miten käänteisrelaatio määritellään formaalisti?
  4. Onko mahdollista, että käänteisrelaatio on kuvaus, vaikka alkuperäinen kuvaus ei ole?
  5. Mitä tarkoittaa "käänteisrelaatio" suhteessa joukon elementteihin?

Vinkki:

Käänteisrelaatio on kuvaus vain, jos alkuperäinen kuvaus on injektiivinen, eli jokaiselle yBy \in B on korkeintaan yksi xAx \in A, jolle f(x)=yf(x) = y.

Ask a new question for Free

By Image

Drop file here or Click Here to upload

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Functions
Inverse Relations
Injectivity

Formulas

Definition of inverse relation
Injectivity condition: For f(x) = f(y), x = y

Theorems

An inverse relation is a function if and only if the original function is injective.

Suitable Grade Level

Undergraduate Mathematics or Advanced High School