Math Problem Statement

Olkoot f, g : A →B kuvauksia. Anna esimerkki tilanteesta, jossa käänteisrelaatio f^−1 on kuvaus ja käänteisrelaatio g^−1 ei ole kuvaus.

Solution

Jotta ymmärretään, milloin käänteisrelaatio f1f^{-1} on kuvaus ja milloin g1g^{-1} ei ole, tarkastellaan tilannetta joukkojen ja kuvauksien näkökulmasta.

Ehto käänteisrelaation olemiselle kuvaus

Käänteisrelaatio f1f^{-1} on kuvaus, jos jokaisella yBy \in B on korkeintaan yksi xAx \in A, siten että f(x)=yf(x) = y. Toisin sanoen, ff täytyy olla injektiivinen.

Jos g1g^{-1} ei ole kuvaus, tämä tarkoittaa, että gg ei ole injektiivinen: sama yBy \in B voi liittyä useampaan xAx \in A.

Esimerkki

Valitaan joukot AA ja BB seuraavasti: A={1,2,3},B={a,b}.A = \{1, 2, 3\}, \quad B = \{a, b\}.

Määritellään kuvaukset ff ja gg:

  • f:AB,f(1)=a,f(2)=b,f(3)=bf : A \to B, \, f(1) = a, \, f(2) = b, \, f(3) = b,
  • g:AB,g(1)=a,g(2)=a,g(3)=bg : A \to B, \, g(1) = a, \, g(2) = a, \, g(3) = b.

Analyysi

  1. Kuvaus ff:

    • ff ei ole injektio, koska f(2)=bf(2) = b ja f(3)=bf(3) = b. Tämä tarkoittaa, että f1f^{-1} ei ole kuvaus, koska samalle y=by = b liittyy kaksi alkioita x=2x = 2 ja x=3x = 3.
    • Käänteisrelaatio f1f^{-1}: f1(a)={1},f1(b)={2,3}.f^{-1}(a) = \{1\}, \quad f^{-1}(b) = \{2, 3\}. Ei yksikäsitteinen, ei kuvaus.
  2. Kuvaus gg:

    • gg on injektio, koska jokainen xAx \in A liittyy täsmälleen yhteen yBy \in B ja jokaisella yBy \in B on korkeintaan yksi xx.
    • Käänteisrelaatio g1g^{-1}: g1(a)={1,2},g1(b)={3}.g^{-1}(a) = \{1, 2\}, \quad g^{-1}(b) = \{3\}. Ei yksikäsitteinen (ei ole injektio), mutta on funktion **täten ei kuvasl### Korjaan viimeisen osan selitystä ja annan selkeän esimerkin.

Esimerkin tarkistus: Määritetään uudelleen selkeämmin esimerkkitilanne, jossa käänteisrelaatio f1f^{-1} on kuvaus ja g1g^{-1} ei ole.

Joukot A={1,2}A = \{1, 2\} ja B={a,b}B = \{a, b\}.

  1. Kuvaus ff:

    • f(1)=af(1) = a, f(2)=bf(2) = b.
    • ff on injektio (yksikäsitteinen kuvaus).
    • Käänteisrelaatio: f1(a)=1,f1(b)=2.f^{-1}(a) = 1, \quad f^{-1}(b) = 2. Tässä f1f^{-1} on kuvaus, koska jokaiselle yBy \in B löytyy täsmälleen yksi xAx \in A.
  2. Kuvaus gg:

    • g(1)=ag(1) = a, g(2)=ag(2) = a.
    • gg ei ole injektio, koska aBa \in B liittyy kahteen eri alkioon 1,2A1, 2 \in A.
    • Käänteisrelaatio: g1(a)={1,2}.g^{-1}(a) = \{1, 2\}. Tässä g1g^{-1} ei ole kuvaus, koska aBa \in B liittyy kahteen eri alkioon xx.

Yhteenveto

  • Käänteisrelaatio f1f^{-1} on kuvaus, koska ff on injektio.
  • Käänteisrelaatio g1g^{-1} ei ole kuvaus, koska gg ei ole injektio.

Tarkennuksia tai kysymyksiä?

  1. Haluaisitko esimerkkejä, joissa käytetään eri joukkoja?
  2. Onko tarpeen selittää injektiivisyys ja käänteisrelaatiot tarkemmin?
  3. Kiinnostavatko esimerkit käytännön sovelluksista?
  4. Pitäisikö määritellä myös surjektiivisuus osana vastausta?
  5. Tarvitsetko kuvaajia tai kaavioita selventämään asiaa?

Vinkki: Injektiivisyys on kriittinen tekijä käänteisrelaation muodostumisessa yksikäsitteiseksi kuvaukseksi. Tarkista aina, että alkuperäinen kuvaus täyttää yksiselitteisyyden ehdot.

Ask a new question for Free

By Image

Drop file here or Click Here to upload

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Mappings and Relations
Inverse Relations
Injectivity (One-to-One Mappings)

Formulas

-

Theorems

A function's inverse is a mapping if and only if the function is injective.

Suitable Grade Level

Grades 11-12