Meillä on kaksi kuvasta $f: A \to B$ ja $g: B \to A$, jotka toteuttavat ehdon
$(g \circ f)(x) = x, \quad \forall x \in A.$
Tutkitaan, onko $g$ käänteiskuvaus eli $g = f^{-1}$, kun joko

• (a) $g$ on surjektio, tai
• (b) $f$ on surjektio.

---

(a) Jos $g$ on surjektio

Tällöin jokaiselle $y \in A$ löytyy jokin $b \in B$, jolla $g(b) = y$.
Koska $(g \circ f)(x) = x$, saamme
$g(f(x)) = x, \quad \forall x \in A.$
Tämä osoittaa, että $f$ on injektio: jos $f(x_1) = f(x_2)$, niin
$g(f(x_1)) = g(f(x_2)) \implies x_1 = x_2.$
Kuitenkaan $f$ ei välttämättä ole surjektio, joten $g$ ei välttämättä ole $f$ käänteiskuvaus.

Esimerkki:
Olkoon $A = \{1,2\}$, $B = \{a,b,c\}$, ja määritellään
$f(1) = a, \quad f(2) = b.$
$g(a) = 1, \quad g(b) = 2, \quad g(c) = 1.$
Tässä $g$ on surjektio (jokainen $y \in A$ on jonkin $b \in B$ kuva), mutta $f$ ei ole surjektio (koska $c$ ei ole minkään alkion kuva). Tässä tapauksessa $g \neq f^{-1}$.

---

(b) Jos $f$ on surjektio

Tällöin jokaiselle $b \in B$ löytyy $x \in A$, jolla $f(x) = b$.
Koska $(g \circ f)(x) = x$, funktio $f$ on injektio. Surjektiivisuus ja injektiivisyys yhdessä tarkoittavat, että $f$ on bijektio.

Bijektiivisella $f$:llä on käänteiskuvaus $f^{-1}$, ja koska $g$ toteuttaa $g(f(x)) = x$, voimme päätellä, että $g = f^{-1}$.

Esimerkki:
Olkoon $A = \{1,2,3\}$, $B = \{a,b,c\}$, ja
$f(1) = a, \quad f(2) = b, \quad f(3) = c.$
$g(a) = 1, \quad g(b) = 2, \quad g(c) = 3.$
Tässä $f$ on surjektio ja bijektio, joten $g = f^{-1}$.

---

Johtopäätös

• Jos $g$ on surjektio, $g$ ei välttämättä ole $f^{-1}$.
• Jos $f$ on surjektio, niin $g = f^{-1}$.

Haluatko lisätietoja tai tarkennuksia?

Liittyviä kysymyksiä:

1. Mitä eroa on injektiolla, surjektiolla ja bijektiolla?
2. Miten voidaan todistaa, että funktio on käännettävä?
3. Miten määritellään käänteisfunktio ja sen olemassaolon ehdot?
4. Mitä tapahtuu, jos $(f \circ g)(y) = y$ kaikilla $y \in B$?
5. Miten tämä teoria liittyy matriisien käänteisiin ja lineaarialgebraan?

Vinkki:
Kun haluat tutkia, onko $g$ käänteiskuvaus, tarkista aina ensin, onko $f$ bijektio.