carilah invers matrik B = ( 2 2 3 , 1 1 2, 4 3 1)

Untuk mencari invers matriks \( B \), kita harus terlebih dahulu memastikan bahwa matriks tersebut memiliki determinan yang tidak sama dengan nol. Jika determinannya nol, maka matriks tidak memiliki invers.

Matriks \( B \) diberikan sebagai:

\[
B = \begin{pmatrix}
2 & 2 & 3 \\
1 & 1 & 2 \\
4 & 3 & 1
\end{pmatrix}
\]

### Langkah-langkah:

1. **Hitung Determinan dari Matriks \( B \):**

\[
\text{det}(B) = 2 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 1 \end{vmatrix}
               - 2 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 1 \end{vmatrix}
               + 3 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 4 & 3 \end{vmatrix}
\]

\[
\text{det}(B) = 2 \cdot (1 \cdot 1 - 2 \cdot 3)
               - 2 \cdot (1 \cdot 1 - 2 \cdot 4)
               + 3 \cdot (1 \cdot 3 - 1 \cdot 4)
\]

\[
\text{det}(B) = 2 \cdot (1 - 6)
               - 2 \cdot (1 - 8)
               + 3 \cdot (3 - 4)
\]

\[
\text{det}(B) = 2 \cdot (-5)
               - 2 \cdot (-7)
               + 3 \cdot (-1)
\]

\[
\text{det}(B) = -10 + 14 - 3 = 1
\]

Karena determinan dari \( B \) adalah 1, kita bisa lanjutkan mencari inversnya.

2. **Cari Adjoin dari Matriks \( B \):**

Adjoin adalah matriks kofaktor yang ditransposkan. Untuk menghitung kofaktor, kita hilangkan baris dan kolom dari setiap elemen, dan kemudian hitung determinan dari submatriks 2x2 yang tersisa.

#### Kofaktor:

- Elemen (1,1): \( \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} = (1 \times 1 - 2 \times 3) = -5 \)
- Elemen (1,2): \( \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 1 \end{vmatrix} = (1 \times 1 - 2 \times 4) = -7 \) → dikali dengan \(-1\), jadi \(7\)
- Elemen (1,3): \( \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 4 & 3 \end{vmatrix} = (1 \times 3 - 1 \times 4) = -1 \)

- Elemen (2,1): \( \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} = (2 \times 1 - 3 \times 3) = -7 \) → dikali dengan \(-1\), jadi \(7\)
- Elemen (2,2): \( \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 1 \end{vmatrix} = (2 \times 1 - 3 \times 4) = -10 \)
- Elemen (2,3): \( \begin{vmatrix} 2 & 2 \\ 4 & 3 \end{vmatrix} = (2 \times 3 - 2 \times 4) = -2 \)

- Elemen (3,1): \( \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = (2 \times 2 - 3 \times 1) = 1 \)
- Elemen (3,2): \( \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = (2 \times 2 - 2 \times 1) = 2 \) → dikali dengan \(-1\), jadi \(-2\)
- Elemen (3,3): \( \begin{vmatrix} 2 & 2 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = (2 \times 1 - 2 \times 1) = 0 \)

3. **Adjoin \( B \):**

\[
\text{Adjoin}(B) = \begin{pmatrix}
-5 & 7 & -1 \\
7 & -10 & -2 \\
1 & -2 & 0
\end{pmatrix}
\]

4. **Invers dari Matriks \( B \):**

Karena determinannya adalah 1, invers dari matriks \( B \) adalah Adjoin dari \( B \) itu sendiri:

\[
B^{-1} = \frac{1}{\text{det}(B)} \cdot \text{Adjoin}(B)
\]

\[
B^{-1} = 1 \cdot \begin{pmatrix}
-5 & 7 & -1 \\
7 & -10 & -2 \\
1 & -2 & 0
\end{pmatrix}
\]

Jadi, invers matriks \( B \) adalah:

\[
B^{-1} = \begin{pmatrix}
-5 & 7 & -1 \\
7 & -10 & -2 \\
1 & -2 & 0
\end{pmatrix}
\]

Apakah Anda ingin detail lebih lanjut atau ada pertanyaan lain?

Berikut beberapa pertanyaan yang relevan:
1. Apa itu adjoin dalam konteks matriks?
2. Bagaimana cara cepat menghitung determinan matriks 3x3?
3. Apa perbedaan antara determinan dan adjoin?
4. Apa aplikasi invers matriks dalam aljabar linier?
5. Apa yang terjadi jika determinan suatu matriks sama dengan nol?

**Tip:** Pastikan selalu menghitung determinan sebelum mencari invers, karena determinan nol menunjukkan bahwa matriks tidak dapat diinverskan.

Pelajari cara mencari invers matriks 3x3 dari matriks B = (2, 2, 3, 1, 1, 2, 4, 3, 1). Tutorial ini mencakup perhitungan determinan, adjoin, dan invers matriks. Cocok untuk mahasiswa yang sedang mempelajari aljabar linier.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation