Для решения задачи о межвременном выборе, нужно использовать модель оптимального потребления, где учитываются два периода: первый и второй. В данной задаче функции полезности и доходы заданы, и мы ищем оптимальное потребление, а также сбережения или заимствования.

1. Функция полезности: $U(C_1, C_2) = (C_1 C_2)^2$, где:

   • $C_1$ — потребление в первом периоде,
   • $C_2$ — потребление во втором периоде.

2. Дано:

   • Доход в первом периоде: $Y_1 = 125$,
   • Доход во втором периоде: $Y_2 = 102$,
   • Процентная ставка: $r = 20\% = 0.2$.

3. Условие оптимальности для межвременного выбора заключается в том, что предельная полезность от потребления в каждом периоде должна быть пропорциональна их стоимости с учётом процентной ставки.

Для этого мы применяем условие равенства предельных полезностей с учётом процентной ставки. Из функции полезности можно вывести:

$\frac{U'(C_1)}{U'(C_2)} = \frac{1 + r}{1}.$

Рассмотрим функцию полезности $U(C_1, C_2) = (C_1 C_2)^2$.

Предельные полезности для $C_1$ и $C_2$: $U'(C_1) = 2(C_1 C_2)^2 \cdot C_2,$ $U'(C_2) = 2(C_1 C_2)^2 \cdot C_1.$

Рассматривая пропорцию предельных полезностей: $\frac{U'(C_1)}{U'(C_2)} = \frac{C_2}{C_1} = 1 + r.$

Это условие даст нам отношение между $C_1$ и $C_2$. Подставим $r = 0.2$:

$\frac{C_2}{C_1} = 1.2.$

Следовательно, $C_2 = 1.2 C_1$.

4. Бюджетное ограничение. В первом периоде доход равен 125, во втором — 102. Общее бюджетное ограничение с учётом процентной ставки выглядит так:

$C_1 + \frac{C_2}{1 + r} = Y_1 + \frac{Y_2}{1 + r}.$

Подставим все данные: $C_1 + \frac{C_2}{1.2} = 125 + \frac{102}{1.2}.$

5. Подставим $C_2 = 1.2 C_1$ в уравнение: $C_1 + \frac{1.2 C_1}{1.2} = 125 + \frac{102}{1.2},$ $C_1 + C_1 = 125 + 85,$ $2C_1 = 210,$ $C_1 = 105.$

6. Теперь, найдём $C_2$: $C_2 = 1.2 C_1 = 1.2 \times 105 = 126.$

Ответы:

1. Оптимальное потребление в первом периоде: $C_1 = 105$.

2. Оптимальное потребление во втором периоде: $C_2 = 126$.

3. Сберегает или берёт займ в первом периоде: Индивид сберегает деньги, так как $C_1 < Y_1$. (Потребление в первом периоде меньше дохода).

4. Величина сбережений или займа в первом периоде (по модулю): Сбережения равны $Y_1 - C_1 = 125 - 105 = 20$.

---

Если вам нужно больше деталей или у вас возникли вопросы, не стесняйтесь их задавать!

Дополнительные вопросы:

1. Как изменение процентной ставки влияет на оптимальное потребление в обоих периодах?
2. Как бы изменилась ситуация, если бы доход во втором периоде был выше?
3. Что произойдёт, если индивид начнёт тратить больше в первом периоде?
4. Как бы выглядело решение, если бы функция полезности была другой (например, $U = C_1 + C_2$)?
5. Как оценить влияние инфляции на межвременной выбор?

Совет: Когда работаете с моделями межвременного выбора, всегда учитывайте процентную ставку, так как она существенно влияет на оптимальные решения.