Math Problem Statement
ช่วยยกตัวอย่าง การคำนวณ lagrange method เพื่อแก้ปัญหา consumer ในเรื่อง OLG หน่อย
Solution
ตัวอย่างการคำนวณ Lagrange Method เพื่อแก้ปัญหา Consumer ในเรื่อง Overlapping Generations (OLG)
ปัญหาผู้บริโภคใน OLG มักเกี่ยวข้องกับการตัดสินใจบริโภคและออมในช่วงชีวิต (สองช่วง: ตอนเป็นหนุ่มและตอนเกษียณ) เพื่อเพิ่มประโยชน์สูงสุดภายใต้ข้อจำกัดงบประมาณ
ตัวอย่างโจทย์:
สมมติว่าผู้บริโภคมีฟังก์ชันอรรถประโยชน์ดังนี้:
โดย:
- คือการบริโภคในช่วงที่ 1
- คือการบริโภคในช่วงที่ 2
- คือส่วนลดระหว่างเวลา ()
ข้อจำกัดงบประมาณ:
โดย:
- คือรายได้รวมที่สามารถใช้ในชีวิตทั้งสองช่วง
- คืออัตราดอกเบี้ย
วิธีแก้ด้วย Lagrange Method:
-
ตั้งปัญหา Lagrange:
-
คำนวณอนุพันธ์: หาอนุพันธ์ของ ต่อ , และ :
- แก้สมการ:
- จาก :
- จาก :
ตั้ง เท่ากัน:
แก้หาอัตราส่วนของ และ :
- แทนในข้อจำกัดงบประมาณ:
จัดรูป:
แก้หา :
จาก :
คำตอบ:
-
การบริโภคช่วงที่ 1:
-
การบริโภคช่วงที่ 2:
การตีความ:
- และ ขึ้นกับรายได้รวม , อัตราดอกเบี้ย , และส่วนลดระหว่างเวลา โดยตรง
- ผู้บริโภคจะปรับสมดุลระหว่างการบริโภคในสองช่วงเพื่อเพิ่มอรรถประโยชน์สูงสุด
คำถามเพิ่มเติม:
- จะเกิดอะไรขึ้นถ้าอัตราดอกเบี้ย เพิ่มขึ้น?
- หาก เข้าใกล้ 0 หรือ 1 จะแปลผลได้อย่างไร?
- หากผู้บริโภคมีข้อจำกัดอื่น ๆ (เช่น การบริโภคขั้นต่ำ) จะเปลี่ยนวิธีแก้อย่างไร?
- ทำไมการเลือกใช้ Lagrange Method เหมาะกับปัญหานี้?
- ฟังก์ชันอรรถประโยชน์อื่น (เช่น ) จะส่งผลต่อการคำนวณอย่างไร?
Tip: ตรวจสอบว่าฟังก์ชันอรรถประโยชน์และข้อจำกัดงบประมาณสอดคล้องกับสมมติฐานทางเศรษฐศาสตร์ที่โจทย์ต้องการวิเคราะห์
Ask a new question for Free
By Image
Drop file here or Click Here to upload
Math Problem Analysis
Mathematical Concepts
Lagrange Method
Optimization
Consumer Theory
Overlapping Generations Model (OLG)
Formulas
U(c1, c2) = ln(c1) + β ln(c2)
Budget constraint: w = c1 + c2 / (1 + r)
Lagrange function: L = ln(c1) + β ln(c2) + λ(w - c1 - c2 / (1 + r))
Consumption ratios: c2 = β (1 + r) c1
Consumption solutions: c1 = w / (1 + β), c2 = β (1 + r) w / (1 + β)
Theorems
Utility Maximization Principle
Lagrange Multipliers Method
Suitable Grade Level
Undergraduate (Economics/Mathematics)
Related Recommendation
Understanding Overlapping Generations Model (OLG): Key Concepts and Applications
Utility Maximization with Lagrangian: Consumer Problem and Budget Constraint
Optimization with Lagrange Multiplier - Utility Function Problem
Optimization with Lagrangian Method for Utility and Constraints
Utility Maximization: Finding George's Demand Function for Good Y