Math Problem Statement

ช่วยยกตัวอย่าง การคำนวณ lagrange method เพื่อแก้ปัญหา consumer ในเรื่อง OLG หน่อย

Solution

ตัวอย่างการคำนวณ Lagrange Method เพื่อแก้ปัญหา Consumer ในเรื่อง Overlapping Generations (OLG)

ปัญหาผู้บริโภคใน OLG มักเกี่ยวข้องกับการตัดสินใจบริโภคและออมในช่วงชีวิต (สองช่วง: ตอนเป็นหนุ่มและตอนเกษียณ) เพื่อเพิ่มประโยชน์สูงสุดภายใต้ข้อจำกัดงบประมาณ

ตัวอย่างโจทย์:

สมมติว่าผู้บริโภคมีฟังก์ชันอรรถประโยชน์ดังนี้:

U(c1,c2)=ln(c1)+βln(c2)U(c_1, c_2) = \ln(c_1) + \beta \ln(c_2)

โดย:

  • c1c_1 คือการบริโภคในช่วงที่ 1
  • c2c_2 คือการบริโภคในช่วงที่ 2
  • β\beta คือส่วนลดระหว่างเวลา (0<β<10 < \beta < 1)

ข้อจำกัดงบประมาณ: w=c1+c2(1+r)w = c_1 + \frac{c_2}{(1+r)}

โดย:

  • ww คือรายได้รวมที่สามารถใช้ในชีวิตทั้งสองช่วง
  • rr คืออัตราดอกเบี้ย

วิธีแก้ด้วย Lagrange Method:

  1. ตั้งปัญหา Lagrange: L=ln(c1)+βln(c2)+λ(wc1c21+r)\mathcal{L} = \ln(c_1) + \beta \ln(c_2) + \lambda \left( w - c_1 - \frac{c_2}{1+r} \right)

  2. คำนวณอนุพันธ์: หาอนุพันธ์ของ L\mathcal{L} ต่อ c1c_1, c2c_2 และ λ\lambda:

  • Lc1=1c1λ=0\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial c_1} = \frac{1}{c_1} - \lambda = 0
  • Lc2=βc2λ11+r=0\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial c_2} = \frac{\beta}{c_2} - \lambda \frac{1}{1+r} = 0
  • Lλ=wc1c21+r=0\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \lambda} = w - c_1 - \frac{c_2}{1+r} = 0
  1. แก้สมการ:
  • จาก Lc1\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial c_1}: λ=1c1\lambda = \frac{1}{c_1}
  • จาก Lc2\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial c_2}: λ=β(1+r)c2\lambda = \frac{\beta (1+r)}{c_2}

ตั้ง λ\lambda เท่ากัน: 1c1=β(1+r)c2\frac{1}{c_1} = \frac{\beta (1+r)}{c_2}

แก้หาอัตราส่วนของ c1c_1 และ c2c_2: c2=β(1+r)c1c_2 = \beta (1+r) c_1

  1. แทนในข้อจำกัดงบประมาณ: w=c1+β(1+r)c11+rw = c_1 + \frac{\beta (1+r) c_1}{1+r}

จัดรูป: w=c1(1+β)w = c_1 \left( 1 + \beta \right)

แก้หา c1c_1: c1=w1+βc_1 = \frac{w}{1 + \beta}

จาก c2=β(1+r)c1c_2 = \beta (1+r) c_1: c2=β(1+r)w1+βc_2 = \beta (1+r) \frac{w}{1+\beta}

คำตอบ:

  • การบริโภคช่วงที่ 1: c1=w1+βc_1 = \frac{w}{1+\beta}

  • การบริโภคช่วงที่ 2: c2=β(1+r)w1+βc_2 = \frac{\beta (1+r) w}{1+\beta}


การตีความ:

  • c1c_1 และ c2c_2 ขึ้นกับรายได้รวม ww, อัตราดอกเบี้ย rr, และส่วนลดระหว่างเวลา β\beta โดยตรง
  • ผู้บริโภคจะปรับสมดุลระหว่างการบริโภคในสองช่วงเพื่อเพิ่มอรรถประโยชน์สูงสุด

คำถามเพิ่มเติม:

  1. จะเกิดอะไรขึ้นถ้าอัตราดอกเบี้ย rr เพิ่มขึ้น?
  2. หาก β\beta เข้าใกล้ 0 หรือ 1 จะแปลผลได้อย่างไร?
  3. หากผู้บริโภคมีข้อจำกัดอื่น ๆ (เช่น การบริโภคขั้นต่ำ) จะเปลี่ยนวิธีแก้อย่างไร?
  4. ทำไมการเลือกใช้ Lagrange Method เหมาะกับปัญหานี้?
  5. ฟังก์ชันอรรถประโยชน์อื่น (เช่น U=c1ac21aU = c_1^a c_2^{1-a}) จะส่งผลต่อการคำนวณอย่างไร?

Tip: ตรวจสอบว่าฟังก์ชันอรรถประโยชน์และข้อจำกัดงบประมาณสอดคล้องกับสมมติฐานทางเศรษฐศาสตร์ที่โจทย์ต้องการวิเคราะห์

Ask a new question for Free

By Image

Drop file here or Click Here to upload

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Lagrange Method
Optimization
Consumer Theory
Overlapping Generations Model (OLG)

Formulas

U(c1, c2) = ln(c1) + β ln(c2)
Budget constraint: w = c1 + c2 / (1 + r)
Lagrange function: L = ln(c1) + β ln(c2) + λ(w - c1 - c2 / (1 + r))
Consumption ratios: c2 = β (1 + r) c1
Consumption solutions: c1 = w / (1 + β), c2 = β (1 + r) w / (1 + β)

Theorems

Utility Maximization Principle
Lagrange Multipliers Method

Suitable Grade Level

Undergraduate (Economics/Mathematics)