Planet 𝜋 inneh ̊aller punkten 𝑃 = (3, 1, 4) och sk ̈ar cylindern 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 + 𝑥𝑦 − 𝑥𝑧 + 𝑦𝑧 = 1
utmed en cirkel. Best ̈am sk ̈arningscirkelns medelpunkt och radie.

För att bestämma skärningscirkelns medelpunkt och radie, behöver vi följa stegen nedan:

1. **Identifiera planet och cylindern**: Låt planet \(\pi\) vara definierat med punkten \( P = (3, 1, 4) \) och en normalvektor \(\vec{n} = (A, B, C)\), vilket ännu inte är bestämt. Vi vet att planet skär cylindern längs en cirkel, så vi behöver bestämma planet \(\pi\).

2. **Cylinderns ekvation**: Cylinderns ekvation ges som
   \[
   x^2 + y^2 + z^2 + xy - xz + yz = 1.
   \]
   Detta är en kvadratiskt yta som representerar en cylindrisk yta (även om den inte är en vanlig cirkulär cylinder). 

3. **Skärningscirkeln**: Skärningen mellan planet \(\pi\) och cylindern kommer att resultera i en cirkel. För att bestämma denna cirkels egenskaper (dess medelpunkt och radie), kan vi anta att vi sätter planet som \(\pi: Ax + By + Cz = D\), där \(D\) bestäms med hjälp av punkten \(P = (3, 1, 4)\).

4. **Beräkning av skärningscirkeln**:
   - Vi löser det linjära systemet där planet \(\pi\) skär cylindern för att finna de punkter som ligger på både planet och cylindern.
   - När vi har specificerat planet, kan vi använda avståndsformeln och identifiera cirkelns medelpunkt och radie med hjälp av att det är en ortogonal skärning.

Vill du att vi specificerar normalvektorn för planet, beräknar dess ekvation och fortsätter lösningen?

Planet 𝜋 innehåller punkten 𝑃 = (3, 1, 4) och skär cylindern 𝑥^2 + 𝑦^2 + 𝑧^2 + 𝑥𝑦 − 𝑥𝑧 + 𝑦𝑧 = 1 utmed en cirkel. Bestäm skärningscirkelns medelpunkt och radie.

Explore how to determine the center and radius of the intersection circle formed by a plane and a cylindrical surface in 3D space. This solution covers concepts in analytic geometry, including equations for planes and cylinders, and the method for finding the circle of intersection. Suitable for advanced calculus and geometry students.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation