Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD. Gọi M là trung điểm của SB, G là trọng tâm tam giác SAD. . Tìm giao điểm I của GM và mp(ABCD). chứng minh I D C thẳng hàng

Để giải bài toán này, ta sẽ tiến hành qua các bước như sau:

**Bước 1: Phân tích bài toán**

- Cho hình chóp \( S.ABCD \), với đáy là hình bình hành \( ABCD \).
- \( M \) là trung điểm của \( SB \), tức là điểm nằm giữa \( S \) và \( B \).
- \( G \) là trọng tâm tam giác \( SAD \), điểm này chia mỗi đoạn nối từ đỉnh của tam giác đến các đỉnh còn lại thành tỉ lệ 2:1.
- Cần tìm giao điểm \( I \) của \( GM \) và mặt phẳng \( (ABCD) \), và chứng minh rằng các điểm \( I, D, C \) thẳng hàng.

**Bước 2: Xác định phương trình mặt phẳng \( (ABCD) \) và các điểm trong không gian**

- Đáy hình chóp là hình bình hành \( ABCD \), vì vậy ta có thể sử dụng các tính chất hình học của hình bình hành để xác định các vectơ vị trí của các điểm.
  
- Cách xác định \( G \) (trọng tâm tam giác \( SAD \)) là điểm chia đoạn \( SA \), \( SD \) theo tỷ lệ \( 2:1 \). Ta có thể tính được tọa độ của \( G \) từ các điểm \( S \), \( A \), và \( D \) (nếu biết tọa độ của chúng).

- Điểm \( M \) là trung điểm của đoạn \( SB \), do đó tọa độ của \( M \) có thể tính bằng trung bình cộng của tọa độ \( S \) và \( B \).

**Bước 3: Tìm giao điểm \( I \) của \( GM \) với mặt phẳng \( (ABCD) \)**

- Để tìm giao điểm \( I \), ta sẽ tìm phương trình đường thẳng \( GM \) và phương trình mặt phẳng \( (ABCD) \). 
- Sau đó, ta giải hệ phương trình để tìm tọa độ giao điểm \( I \).

**Bước 4: Chứng minh \( I, D, C \) thẳng hàng**

- Khi có tọa độ của \( I \), \( D \), và \( C \), ta có thể chứng minh rằng ba điểm này thẳng hàng bằng cách kiểm tra xem vectơ \( \overrightarrow{ID} \) và \( \overrightarrow{IC} \) có tỷ lệ với nhau hay không (tức là có phương cùng hướng).

---

### Lời giải chi tiết:

**Giả sử** tọa độ của các điểm trong không gian như sau:

- \( S(0, 0, h) \) (đỉnh của hình chóp),
- \( A(0, 0, 0) \),
- \( B(a, 0, 0) \),
- \( D(0, b, 0) \),
- \( C(a, b, 0) \).

**Tọa độ điểm M (trung điểm của SB):**
\[
M = \left( \frac{0 + a}{2}, \frac{0 + 0}{2}, \frac{h + 0}{2} \right) = \left( \frac{a}{2}, 0, \frac{h}{2} \right).
\]

**Tọa độ điểm G (trọng tâm tam giác \( SAD \)):**
Trọng tâm là điểm chia ba đoạn \( SA \), \( SD \) theo tỷ lệ \( 2:1 \), do đó tọa độ của \( G \) là:
\[
G = \left( \frac{2 \cdot 0 + 0 \cdot 0 + 0 \cdot a}{3}, \frac{2 \cdot 0 + 0 \cdot b + 0 \cdot 0}{3}, \frac{2 \cdot h + 0 \cdot 0 + 0 \cdot 0}{3} \right) = (0, 0, \frac{2h}{3}).
\]

**Tìm giao điểm \( I \) của GM và mặt phẳng \( (ABCD) \):**

Mặt phẳng \( (ABCD) \) có phương trình \( z = 0 \) (vì đáy là mặt phẳng \( xy \)).

Để tìm giao điểm của \( GM \) với mặt phẳng này, ta cần tìm phương trình của đường thẳng \( GM \). Đoạn thẳng này nối điểm \( G(0, 0, \frac{2h}{3}) \) và điểm \( M\left( \frac{a}{2}, 0, \frac{h}{2} \right) \), và ta có thể sử dụng hệ số góc để biểu diễn đường thẳng.

Phương trình của đường thẳng \( GM \) là:
\[
\left( x, y, z \right) = (0, 0, \frac{2h}{3}) + t \cdot \left( \frac{a}{2}, 0, \frac{h}{2} - \frac{2h}{3} \right).
\]
Giải phương trình này với \( z = 0 \) sẽ cho ta giá trị của \( t \), từ đó tìm được tọa độ giao điểm \( I \).

**Chứng minh rằng \( I, D, C \) thẳng hàng:**

Khi tìm được tọa độ của \( I \), ta sẽ chứng minh rằng

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD. Gọi M là trung điểm của SB, G là trọng tâm tam giác SAD. Tìm giao điểm I của GM và mp(ABCD). Chứng minh I D C thẳng hàng.

Solve the geometry problem of finding the intersection of the line GM with the plane (ABCD) in a pyramid with base ABCD. This detailed solution covers concepts such as centroids, vector equations, and collinearity of points. Suitable for students in Grades 11-12.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation