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resuelve estas intregrales por el metodo de sustitucion

Voy a resolver las integrales usando el método de sustitución, una por una.

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**a.** \(\int (1 - 3x)^{-5} \, dx\)

### Solución:
- Usamos la sustitución \( u = 1 - 3x \), de donde \( du = -3 \, dx \).
- Entonces, \( dx = \frac{du}{-3} \).

Reescribimos la integral:

\[
\int (1 - 3x)^{-5} \, dx = \int u^{-5} \cdot \frac{du}{-3}
\]

Sacamos el \(-\frac{1}{3}\):

\[
-\frac{1}{3} \int u^{-5} \, du = -\frac{1}{3} \cdot \frac{u^{-4}}{-4} = \frac{1}{12} u^{-4} + C
\]

Sustituyendo \( u = 1 - 3x \):

\[
\frac{1}{12} (1 - 3x)^{-4} + C
\]

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**b.** \(\int \frac{dx}{3(1 - 3x)^{-5}}\)

### Solución:
Esta integral se puede reescribir como:

\[
\frac{1}{3} \int (1 - 3x)^5 \, dx
\]

Hacemos la misma sustitución que en la anterior: \( u = 1 - 3x \), \( du = -3dx \).

\[
\frac{1}{3} \int u^5 \cdot \frac{du}{-3} = -\frac{1}{9} \int u^5 \, du = -\frac{1}{9} \cdot \frac{u^6}{6} = -\frac{1}{54} u^6 + C
\]

Sustituyendo \( u = 1 - 3x \):

\[
-\frac{1}{54} (1 - 3x)^6 + C
\]

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**c.** \(\int x \sqrt{9 - x^2} \, dx\)

### Solución:
Usamos la sustitución \( u = 9 - x^2 \), \( du = -2x \, dx \).

Reescribimos la integral:

\[
\int x \sqrt{9 - x^2} \, dx = -\frac{1}{2} \int \sqrt{u} \, du = -\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{3/2} = -\frac{1}{3} u^{3/2} + C
\]

Sustituyendo \( u = 9 - x^2 \):

\[
-\frac{1}{3} (9 - x^2)^{3/2} + C
\]

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Voy a continuar resolviendo las siguientes integrales (d-f). ¿Te gustaría más detalles sobre alguna de estas soluciones hasta ahora o prefieres que continúe?

Resuelve estas integrales por el método de sustitución

Learn how to solve integrals using the substitution method with a detailed step-by-step solution. This includes integrals involving algebraic and trigonometric expressions, focusing on techniques like u-substitution.

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