Voy a resolver las integrales usando el método de sustitución, una por una.

a. $\int (1 - 3x)^{-5} \, dx$

Solución:

• Usamos la sustitución $u = 1 - 3x$, de donde $du = -3 \, dx$.
• Entonces, $dx = \frac{du}{-3}$.

Reescribimos la integral:

$\int (1 - 3x)^{-5} \, dx = \int u^{-5} \cdot \frac{du}{-3}$

Sacamos el $-\frac{1}{3}$:

$-\frac{1}{3} \int u^{-5} \, du = -\frac{1}{3} \cdot \frac{u^{-4}}{-4} = \frac{1}{12} u^{-4} + C$

Sustituyendo $u = 1 - 3x$:

$\frac{1}{12} (1 - 3x)^{-4} + C$

b. $\int \frac{dx}{3(1 - 3x)^{-5}}$

Solución:

Esta integral se puede reescribir como:

$\frac{1}{3} \int (1 - 3x)^5 \, dx$

Hacemos la misma sustitución que en la anterior: $u = 1 - 3x$, $du = -3dx$.

$\frac{1}{3} \int u^5 \cdot \frac{du}{-3} = -\frac{1}{9} \int u^5 \, du = -\frac{1}{9} \cdot \frac{u^6}{6} = -\frac{1}{54} u^6 + C$

Sustituyendo $u = 1 - 3x$:

$-\frac{1}{54} (1 - 3x)^6 + C$

c. $\int x \sqrt{9 - x^2} \, dx$

Solución:

Usamos la sustitución $u = 9 - x^2$, $du = -2x \, dx$.

Reescribimos la integral:

$\int x \sqrt{9 - x^2} \, dx = -\frac{1}{2} \int \sqrt{u} \, du = -\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{3/2} = -\frac{1}{3} u^{3/2} + C$

Sustituyendo $u = 9 - x^2$:

$-\frac{1}{3} (9 - x^2)^{3/2} + C$

Voy a continuar resolviendo las siguientes integrales (d-f). ¿Te gustaría más detalles sobre alguna de estas soluciones hasta ahora o prefieres que continúe?