برای محاسبه انتگرال نامعین $\int \frac{\sin(x)}{x} \, dx$، باید توجه کنیم که این انتگرال در حالت عمومی به صورت بسته (Closed-form) قابل حل نیست. در واقع، این انتگرال به یک تابع خاص به نام تابع سینوسی انتگرالی یا $\operatorname{Si}(x)$ منجر می‌شود.

---

تعریف تابع سینوسی انتگرالی $\operatorname{Si}(x)$

$\operatorname{Si}(x) = \int_0^x \frac{\sin(t)}{t} \, dt$

این تابع به‌طور ویژه در ریاضیات و فیزیک استفاده می‌شود، زیرا به‌صورت انتگرال توابع نوسانی که به شکل $\sin(x) / x$ هستند، بیان می‌شود.

---

1. انتگرال نامعین:

در حالت کلی، جواب انتگرال $\int \frac{\sin(x)}{x} \, dx$ را نمی‌توان با توابع مقدماتی (پایه) مانند چندجمله‌ای‌ها، توابع مثلثاتی، یا نمایی نوشت. بنابراین، جواب به‌صورت زیر نوشته می‌شود:

$\int \frac{\sin(x)}{x} \, dx = \operatorname{Si}(x) + C$

که $C$ یک ثابت انتگرال‌گیری است.

---

2. انتگرال معین از 0 تا $x$:

برای انتگرال معین از 0 تا $a$ از همین تابع استفاده می‌کنیم:

$\int_0^a \frac{\sin(x)}{x} \, dx = \operatorname{Si}(a)$

---

3. توضیح رفتار تابع $\operatorname{Si}(x)$:

• برای $x \to 0$، تابع $\operatorname{Si}(x)$ به صفر میل می‌کند.
• برای $x \to \infty$، مقدار $\operatorname{Si}(x)$ به یک مقدار نهایی نزدیک می‌شود که با نوسان تابع سینوس محدود می‌شود.

---

آیا سوالات بیشتری دارید یا نیاز به توضیح بیشتری است؟

5 سوال مرتبط:

1. چگونه می‌توان این انتگرال را با استفاده از سری‌های توانی تقریب زد؟
2. چه کاربردهایی برای تابع $\operatorname{Si}(x)$ در فیزیک وجود دارد؟
3. آیا تابع مشابهی برای $\cos(x) / x$ هم وجود دارد؟
4. چگونه می‌توان این انتگرال را عددی (به‌صورت تقریبی) محاسبه کرد؟
5. تابع $\operatorname{Si}(x)$ در چه حدهایی همگرا است؟

یک نکته:

وقتی انتگرالی به فرم $\frac{\sin(x)}{x}$ دارید، بهتر است به جای تلاش برای حل تحلیلی، از تابع سینوسی انتگرالی یا روش‌های عددی استفاده کنید.