برای محاسبه انتگرال نامعین \( \int \frac{\sin(x)}{x} \, dx \)، باید توجه کنیم که این انتگرال در حالت عمومی به صورت بسته (Closed-form) قابل حل نیست. در واقع، این انتگرال به یک تابع خاص به نام **تابع سینوسی انتگرالی** یا **\( \operatorname{Si}(x) \)** منجر می‌شود.

---

### **تعریف تابع سینوسی انتگرالی \( \operatorname{Si}(x) \)**

\[
\operatorname{Si}(x) = \int_0^x \frac{\sin(t)}{t} \, dt
\]

این تابع به‌طور ویژه در ریاضیات و فیزیک استفاده می‌شود، زیرا به‌صورت انتگرال توابع نوسانی که به شکل \(\sin(x) / x\) هستند، بیان می‌شود.

---

### **1. انتگرال نامعین:**

در حالت کلی، جواب انتگرال \( \int \frac{\sin(x)}{x} \, dx \) را نمی‌توان با توابع مقدماتی (پایه) مانند چندجمله‌ای‌ها، توابع مثلثاتی، یا نمایی نوشت. بنابراین، جواب به‌صورت زیر نوشته می‌شود:

\[
\int \frac{\sin(x)}{x} \, dx = \operatorname{Si}(x) + C
\]

که \(C\) یک ثابت انتگرال‌گیری است.

---

### **2. انتگرال معین از 0 تا \(x\):**

برای انتگرال **معین** از 0 تا \(a\) از همین تابع استفاده می‌کنیم:

\[
\int_0^a \frac{\sin(x)}{x} \, dx = \operatorname{Si}(a)
\]

---

### **3. توضیح رفتار تابع \( \operatorname{Si}(x) \):**
- برای \(x \to 0\)، تابع \( \operatorname{Si}(x) \) به صفر میل می‌کند.
- برای \(x \to \infty\)، مقدار \( \operatorname{Si}(x) \) به یک مقدار نهایی نزدیک می‌شود که با نوسان تابع سینوس محدود می‌شود.

---

### **آیا سوالات بیشتری دارید یا نیاز به توضیح بیشتری است؟**

### 5 سوال مرتبط:
1. چگونه می‌توان این انتگرال را با استفاده از سری‌های توانی تقریب زد؟
2. چه کاربردهایی برای تابع \( \operatorname{Si}(x) \) در فیزیک وجود دارد؟
3. آیا تابع مشابهی برای \( \cos(x) / x \) هم وجود دارد؟
4. چگونه می‌توان این انتگرال را عددی (به‌صورت تقریبی) محاسبه کرد؟
5. تابع \( \operatorname{Si}(x) \) در چه حدهایی همگرا است؟

### یک نکته:
وقتی انتگرالی به فرم \( \frac{\sin(x)}{x} \) دارید، بهتر است به جای تلاش برای حل تحلیلی، از **تابع سینوسی انتگرالی** یا روش‌های عددی استفاده کنید.

Learn how to compute the indefinite integral of sin(x)/x, a complex integral that leads to the sine integral function Si(x). This problem explores the behavior of Si(x) and is suitable for university-level calculus students.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation