انتگرال $e^{-x^2}$ یکی از انتگرال‌های غیرعنصری (non-elementary integral) است که نمی‌توان آن را به‌صورت ترکیب ساده‌ای از توابع ابتدایی حل کرد. این انتگرال معمولاً با استفاده از توابع خاص یا روش‌های عددی بررسی می‌شود.

اما این انتگرال به‌صورت تابع خطای گاوسی (Gaussian Error Function) یا به اختصار $\text{erf}(x)$ بیان می‌شود:

$\int e^{-x^2} dx = \frac{\sqrt{\pi}}{2} \cdot \text{erf}(x) + C$

که در آن: $\text{erf}(x) = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_0^x e^{-t^2} dt$

این تابع یک تابع خاص است که در بسیاری از حوزه‌های علمی و مهندسی کاربرد دارد، به‌ویژه در آمار و احتمال (در توزیع نرمال).

---

اگر انتگرال نامعین نباشد و حدود مشخصی داشته باشد، می‌توان آن را به‌صورت عددی حل کرد. لطفاً اگر محدوده خاصی مدنظر دارید، آن را ذکر کنید تا بتوان به‌صورت عددی انتگرال را محاسبه کرد.

آیا نیاز به جزئیات بیشتری دارید یا سوال دیگری دارید؟

سوالات مرتبط:

1. چطور می‌توان مقدار عددی این انتگرال را با روش‌های عددی محاسبه کرد؟
2. تابع خطای گاوسی $\text{erf}(x)$ چیست و چه کاربردهایی دارد؟
3. آیا این انتگرال در سیستم‌های فیزیکی یا مهندسی خاصی کاربرد دارد؟
4. چطور از سری‌های توانی برای تقریب این انتگرال استفاده کنیم؟
5. آیا رابطه خاصی بین این انتگرال و توزیع نرمال وجود دارد؟

نکته:

برای محاسبه دقیق انتگرال‌های پیچیده، می‌توان از نرم‌افزارهایی مانند MATLAB، Mathematica یا Python استفاده کرد.