Math Problem Statement

Considere la integral integral fracción numerador ln abrir paréntesis 2 espacio x cerrar paréntesis entre denominador x elevado a 3 fin elevado fin fracción d x Al realizar la regla de integración por partes asignando como u igual ln abrir paréntesis 2 espacio x cerrar paréntesis, la anterior integral se convierte en: F paréntesis izquierdo x paréntesis derecho más integral G paréntesis izquierdo x paréntesis derecho espacio d x La función F paréntesis izquierdo x paréntesis derecho es: Respuesta La función G paréntesis izquierdo x paréntesis derecho es: Respuesta

Solution

Para resolver la integral ln(2x)x3dx\int \frac{\ln(2x)}{x^3} \, dx utilizando la técnica de integración por partes, sigamos estos pasos:

  1. Asignaciones: u=ln(2x)ydv=1x3dxu = \ln(2x) \quad \text{y} \quad dv = \frac{1}{x^3} dx

  2. Derivar uu y hallar vv:

    • Derivada de uu: du=1xdxdu = \frac{1}{x} dx
    • Integración de dvdv: v=1x3dx=12x2v = \int \frac{1}{x^3} dx = -\frac{1}{2x^2}
  3. Aplicamos la fórmula de integración por partes: udv=uvvdu\int u \, dv = uv - \int v \, du Sustituyendo las expresiones obtenidas: ln(2x)x3dx=ln(2x)(12x2)(12x2)1xdx\int \frac{\ln(2x)}{x^3} \, dx = \ln(2x) \left(-\frac{1}{2x^2}\right) - \int \left(-\frac{1}{2x^2}\right) \cdot \frac{1}{x} \, dx

  4. Simplificamos la expresión:

    • Para el primer término: F(x)=ln(2x)2x2F(x) = -\frac{\ln(2x)}{2x^2}
    • Para la integral restante: 12x3dx=14x2\int \frac{1}{2x^3} \, dx = -\frac{1}{4x^2} Por lo tanto, la función G(x)G(x) es: G(x)=14x2G(x) = -\frac{1}{4x^2}

Respuestas finales:

  • La función F(x)F(x) es: ln(2x)2x2-\frac{\ln(2x)}{2x^2}
  • La función G(x)G(x) es: 14x2-\frac{1}{4x^2}

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Aquí tienes 5 preguntas relacionadas para ampliar tu comprensión:

  1. ¿Cómo se deriva la función ln(2x)\ln(2x)?
  2. ¿Por qué la integral de 1x3\frac{1}{x^3} resulta en 12x2-\frac{1}{2x^2}?
  3. ¿Qué condiciones se deben cumplir para usar la integración por partes?
  4. ¿Cómo se simplifica una expresión que incluye logaritmos y potencias?
  5. ¿Cómo afecta la constante 2 en ln(2x)\ln(2x) al resultado final?

Tip: Al usar integración por partes, siempre verifica que la derivada de uu simplifique la integral restante para facilitar el proceso.

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Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Calculus
Integration
Logarithmic Functions
Integration by Parts

Formulas

Integration by parts: ∫u dv = uv - ∫v du
Logarithmic differentiation: d(ln(2x))/dx = 1/x
Power rule for integration: ∫x^n dx = x^(n+1)/(n+1)

Theorems

Integration by Parts Theorem

Suitable Grade Level

Undergraduate (Calculus)