Considere la integral integral fracción numerador ln abrir paréntesis 2 espacio x cerrar paréntesis entre denominador x elevado a 3 fin elevado fin fracción d x Al realizar la regla de integración por partes asignando como u igual ln abrir paréntesis 2 espacio x cerrar paréntesis, la anterior integral se convierte en: F paréntesis izquierdo x paréntesis derecho más integral G paréntesis izquierdo x paréntesis derecho espacio d x La función F paréntesis izquierdo x paréntesis derecho es: Respuesta La función G paréntesis izquierdo x paréntesis derecho es: Respuesta

Para resolver la integral \(\int \frac{\ln(2x)}{x^3} \, dx\) utilizando la técnica de integración por partes, sigamos estos pasos:

1. **Asignaciones**:
   \[
   u = \ln(2x) \quad \text{y} \quad dv = \frac{1}{x^3} dx
   \]

2. **Derivar** \( u \) y hallar \( v \):
   - Derivada de \( u \):
     \[
     du = \frac{1}{x} dx
     \]
   - Integración de \( dv \):
     \[
     v = \int \frac{1}{x^3} dx = -\frac{1}{2x^2}
     \]

3. **Aplicamos la fórmula de integración por partes**:
   \[
   \int u \, dv = uv - \int v \, du
   \]
   Sustituyendo las expresiones obtenidas:
   \[
   \int \frac{\ln(2x)}{x^3} \, dx = \ln(2x) \left(-\frac{1}{2x^2}\right) - \int \left(-\frac{1}{2x^2}\right) \cdot \frac{1}{x} \, dx
   \]

4. **Simplificamos la expresión**:
   - Para el primer término:
     \[
     F(x) = -\frac{\ln(2x)}{2x^2}
     \]
   - Para la integral restante:
     \[
     \int \frac{1}{2x^3} \, dx = -\frac{1}{4x^2}
     \]
     Por lo tanto, la función \( G(x) \) es:
     \[
     G(x) = -\frac{1}{4x^2}
     \]

### Respuestas finales:

- **La función \( F(x) \)** es: \( -\frac{\ln(2x)}{2x^2} \)
- **La función \( G(x) \)** es: \( -\frac{1}{4x^2} \)

¿Te gustaría ver más detalles o tienes alguna duda?

Aquí tienes 5 preguntas relacionadas para ampliar tu comprensión:

1. ¿Cómo se deriva la función \( \ln(2x) \)?
2. ¿Por qué la integral de \( \frac{1}{x^3} \) resulta en \( -\frac{1}{2x^2} \)?
3. ¿Qué condiciones se deben cumplir para usar la integración por partes?
4. ¿Cómo se simplifica una expresión que incluye logaritmos y potencias?
5. ¿Cómo afecta la constante 2 en \( \ln(2x) \) al resultado final?

**Tip**: Al usar integración por partes, siempre verifica que la derivada de \( u \) simplifique la integral restante para facilitar el proceso.

Solve the integral ∫(ln(2x)/x^3) dx using the integration by parts method. This solution involves logarithmic differentiation and power rule techniques. Learn how to apply these steps to find the functions F(x) and G(x) for a complete solution. Suitable for undergraduate students in calculus.

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