Para resolver la integral $\int \frac{\ln(2x)}{x^3} \, dx$ utilizando la técnica de integración por partes, sigamos estos pasos:

1. Asignaciones: $u = \ln(2x) \quad \text{y} \quad dv = \frac{1}{x^3} dx$

2. Derivar $u$ y hallar $v$:

   • Derivada de $u$: $du = \frac{1}{x} dx$
   • Integración de $dv$: $v = \int \frac{1}{x^3} dx = -\frac{1}{2x^2}$

3. Aplicamos la fórmula de integración por partes: $\int u \, dv = uv - \int v \, du$ Sustituyendo las expresiones obtenidas: $\int \frac{\ln(2x)}{x^3} \, dx = \ln(2x) \left(-\frac{1}{2x^2}\right) - \int \left(-\frac{1}{2x^2}\right) \cdot \frac{1}{x} \, dx$

4. Simplificamos la expresión:

   • Para el primer término: $F(x) = -\frac{\ln(2x)}{2x^2}$
   • Para la integral restante: $\int \frac{1}{2x^3} \, dx = -\frac{1}{4x^2}$ Por lo tanto, la función $G(x)$ es: $G(x) = -\frac{1}{4x^2}$

Respuestas finales:

• La función $F(x)$ es: $-\frac{\ln(2x)}{2x^2}$
• La función $G(x)$ es: $-\frac{1}{4x^2}$

¿Te gustaría ver más detalles o tienes alguna duda?

Aquí tienes 5 preguntas relacionadas para ampliar tu comprensión:

1. ¿Cómo se deriva la función $\ln(2x)$?
2. ¿Por qué la integral de $\frac{1}{x^3}$ resulta en $-\frac{1}{2x^2}$?
3. ¿Qué condiciones se deben cumplir para usar la integración por partes?
4. ¿Cómo se simplifica una expresión que incluye logaritmos y potencias?
5. ¿Cómo afecta la constante 2 en $\ln(2x)$ al resultado final?

Tip: Al usar integración por partes, siempre verifica que la derivada de $u$ simplifique la integral restante para facilitar el proceso.