https://file.aiquickdraw.com/mathbot/file/1726713629265b44cgmvc.jpg

El valor de A es:

La función F(x) es: 

Vamos a desglosar el problema. La integral que se presenta es:

\[
\ln(3) \int_0^2 x^2 3^x \, dx
\]

Se menciona que se aplicará la regla de **integración por partes** asignando \( u = x^2 \), lo que llevará a una expresión del tipo:

\[
A - \int_0^2 F(x) \, dx
\]

### Para encontrar \( A \) y \( F(x) \):

#### 1. **Integración por partes**:

Sabemos que para la integración por partes se usa la fórmula:

\[
\int u \, dv = uv - \int v \, du
\]

Aquí, tenemos que elegir las partes \( u \) y \( dv \). Se indica que \( u = x^2 \), por lo que necesitamos derivar \( u \) y encontrar \( dv \):

- \( u = x^2 \) implica \( du = 2x \, dx \)
- Ahora, el otro término en la integral debe ser \( dv = 3^x \, dx \), lo cual implica que \( v = \frac{3^x}{\ln(3)} \)

#### 2. **Aplicamos la fórmula**:

\[
\int_0^2 x^2 3^x \, dx = \left[ x^2 \cdot \frac{3^x}{\ln(3)} \right]_0^2 - \int_0^2 2x \cdot \frac{3^x}{\ln(3)} \, dx
\]

Esto simplificará la expresión y podremos evaluar el valor de \( A \) y encontrar la función \( F(x) \).

Voy a proceder con estos pasos para calcular los valores exactos.El valor de \( A \), después de aplicar la integración por partes y simplificar, es:

\[
A = \frac{3^x x^2 \ln(3)^2 - \ln(150094635296999121) + 16}{\ln(3)^3}
\]

A continuación, sería necesario integrar la función \( F(x) \) para completar el segundo término de la expresión original.

¿Te gustaría proceder con más detalles sobre la función \( F(x) \) o alguna otra parte del cálculo?

### Preguntas relacionadas:
1. ¿Cómo se elige qué partes deben ser \( u \) y \( dv \) en la integración por partes?
2. ¿Qué técnicas alternativas existen para resolver integrales con exponentes de bases constantes?
3. ¿Cómo podemos simplificar expresiones que involucran logaritmos grandes?
4. ¿Cuáles son los pasos necesarios para integrar funciones exponenciales?
5. ¿Cómo afecta el cambio de variable en el contexto de integración por partes?

**Tip**: Recuerda que elegir bien las partes \( u \) y \( dv \) en la integración por partes es crucial para simplificar el cálculo.

Solve the definite integral ln(3) ∫_0^2 x^2 3^x dx using integration by parts, where u = x^2. Learn how to find the value of A and the function F(x) in this detailed step-by-step solution. Suitable for university-level calculus students.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation