Vamos a desglosar el problema. La integral que se presenta es:

$\ln(3) \int_0^2 x^2 3^x \, dx$

Se menciona que se aplicará la regla de integración por partes asignando $u = x^2$, lo que llevará a una expresión del tipo:

$A - \int_0^2 F(x) \, dx$

Para encontrar $A$ y $F(x)$:

1. Integración por partes:

Sabemos que para la integración por partes se usa la fórmula:

$\int u \, dv = uv - \int v \, du$

Aquí, tenemos que elegir las partes $u$ y $dv$. Se indica que $u = x^2$, por lo que necesitamos derivar $u$ y encontrar $dv$:

• $u = x^2$ implica $du = 2x \, dx$
• Ahora, el otro término en la integral debe ser $dv = 3^x \, dx$, lo cual implica que $v = \frac{3^x}{\ln(3)}$

2. Aplicamos la fórmula:

$\int_0^2 x^2 3^x \, dx = \left[ x^2 \cdot \frac{3^x}{\ln(3)} \right]_0^2 - \int_0^2 2x \cdot \frac{3^x}{\ln(3)} \, dx$

Esto simplificará la expresión y podremos evaluar el valor de $A$ y encontrar la función $F(x)$.

Voy a proceder con estos pasos para calcular los valores exactos.El valor de $A$, después de aplicar la integración por partes y simplificar, es:

$A = \frac{3^x x^2 \ln(3)^2 - \ln(150094635296999121) + 16}{\ln(3)^3}$

A continuación, sería necesario integrar la función $F(x)$ para completar el segundo término de la expresión original.

¿Te gustaría proceder con más detalles sobre la función $F(x)$ o alguna otra parte del cálculo?

Preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo se elige qué partes deben ser $u$ y $dv$ en la integración por partes?
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5. ¿Cómo afecta el cambio de variable en el contexto de integración por partes?

Tip: Recuerda que elegir bien las partes $u$ y $dv$ en la integración por partes es crucial para simplificar el cálculo.