Considere la siguiente integral evaluada

ln paréntesis izquierdo 2 paréntesis derecho integral subíndice 0 superíndice 3 fin superíndice x elevado a 4 fin elevado 2 elevado a x d x

Al realizar la regla de integración por partes asignando como u igual x elevado a 4 fin elevado, toda la expresión anterior se convierte en:

A menos integral subíndice 0 superíndice 3 fin superíndice F paréntesis izquierdo x paréntesis derecho espacio d x

El valor de A es: Respuesta
La función F paréntesis izquierdo x paréntesis derecho es: Respuesta


La integral que describes puede escribirse matemáticamente de la siguiente manera:

\[
\ln(2) \int_0^3 x^4 e^x \, dx
\]

Utilizando la técnica de **integración por partes**, donde asignamos las siguientes funciones:

- \( u = x^4 \) → \( du = 4x^3 dx \)
- \( dv = e^x dx \) → \( v = e^x \)

Aplicamos la fórmula de integración por partes:

\[
\int u \, dv = uv - \int v \, du
\]

Por lo tanto, al aplicar la fórmula:

\[
\int_0^3 x^4 e^x \, dx = \left[ x^4 e^x \right]_0^3 - \int_0^3 4x^3 e^x \, dx
\]

### Respuestas:

1. **El valor de A** es: \( \ln(2) \left[ x^4 e^x \right]_0^3 \), que es el término que obtenemos después de aplicar la integración por partes a la expresión original.

2. **La función F(x)** es el resto de la expresión, es decir:

\[
F(x) = 4x^3 e^x
\]

Esta función es la que aparece en la segunda integral después de aplicar la regla de integración por partes.

### Preguntas relacionadas:
1. ¿Cómo se evalúa la expresión \( \left[ x^4 e^x \right]_0^3 \)?
2. ¿Qué técnica se puede usar para integrar el segundo término de la expresión resultante?
3. ¿Cómo se realiza una integración por partes múltiple si la función no se simplifica en una sola vez?
4. ¿Qué sucede si se cambia el límite superior de la integral?
5. ¿Cómo afecta el coeficiente \( \ln(2) \) al resultado final de la integral?

**Tip**: Cuando se aplica la integración por partes y la función aún no es sencilla de integrar, a veces es necesario repetir el proceso para simplificar más la expresión.

Considere la siguiente integral evaluada ln paréntesis izquierdo 2 paréntesis derecho integral subíndice 0 superíndice 3 fin superíndice x elevado a 4 fin elevado 2 elevado a x d x. Al realizar la regla de integración por partes asignando como u igual x elevado a 4 fin elevado, toda la expresión anterior se convierte en: A menos integral subíndice 0 superíndice 3 fin superíndice F paréntesis izquierdo x paréntesis derecho espacio d x. El valor de A es: Respuesta. La función F paréntesis izquierdo x paréntesis derecho es: Respuesta

Explore the integral of x^4 * e^x evaluated from 0 to 3 using integration by parts. This problem involves advanced calculus concepts, such as exponential and power functions, and demonstrates how to find the value of A and the function F(x). Suitable for university-level calculus students.

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