実数 $a$ には「隣り」の数が存在しないというのは、実数の性質によるものです。実数は連続的に並んでおり、任意の2つの異なる実数の間には無限に多くの実数が存在するため、「次の数」や「隣りの数」を明確に定義することができません。

しかし、超実数（ハイパーリアル数、無限小や無限大を含む数）を考えると、状況が少し異なります。超実数は非標準解析と呼ばれる数学分野で定義されるもので、実数に加えて、非常に小さい数（無限小）や非常に大きい数（無限大）を含む拡張された数体系です。

超実数の中では、ある実数 $a$ に対して無限に小さい数（無限小、英語で「infinitesimal」） $\epsilon$ を考えることができます。この場合、$a + \epsilon$ や $a - \epsilon$ は、実数 $a$ の「隣り」の数として捉えることができます。これは、$\epsilon$ が無限小であるため、実数系の中ではゼロに限りなく近いけれどもゼロではない値です。

超実数における隣りの数の例

• 実数 $a$ に対して、$a + \epsilon$ や $a - \epsilon$ は $a$ の「隣り」としてみなされます。
• $\epsilon$ が無限小であるため、これらの数は非常に実数に近く、標準的な実数系では同一視できませんが、超実数では区別されます。

つまり、超実数の世界では、「隣りの数」という概念を無限小によって定義することができるのです。

関連質問

1. 超実数はどのように定義されますか？
2. 無限小（infinitesimal）はどのように実数と区別されますか？
3. 実数と超実数の違いは何ですか？
4. 超実数は物理学や応用数学でどのように利用されますか？
5. 非標準解析はどのような数学的応用がありますか？

Tip

超実数の基本的な考え方を理解するには、無限小と無限大の概念を深く考えることが有効です。