Vamos a demostrar por inducción que la desigualdad $p^{n+1} > p(n+1) + 1$, donde $p$ es un número primo y $n$ es un número natural mayor que 2.

Paso 1: Base de la inducción

Comenzamos con la base de inducción, es decir, comprobamos que la desigualdad se cumple para $n = 3$ (porque $n > 2$).

La desigualdad a probar es: $p^{3+1} > p(3+1) + 1 \quad \text{para todo } p \text{ primo y } n = 3.$

Esto se convierte en: $p^4 > 4p + 1.$

Vamos a verificar que esto es cierto para algunos valores de $p$ primo.

• Para $p = 2$: $2^4 = 16 \quad \text{y} \quad 4 \times 2 + 1 = 9 \quad \Rightarrow \quad 16 > 9.$ La desigualdad se cumple.

• Para $p = 3$: $3^4 = 81 \quad \text{y} \quad 4 \times 3 + 1 = 13 \quad \Rightarrow \quad 81 > 13.$ La desigualdad se cumple.

• Para $p = 5$: $5^4 = 625 \quad \text{y} \quad 4 \times 5 + 1 = 21 \quad \Rightarrow \quad 625 > 21.$ La desigualdad se cumple.

Comprobamos que la base de inducción es verdadera para varios valores de $p$ primo y $n = 3$.

Paso 2: Paso inductivo

Ahora, asumimos que la desigualdad se cumple para un valor arbitrario $n = k$, es decir, que: $p^{k+1} > p(k+1) + 1 \quad \text{es cierto}.$ Queremos demostrar que esto implica que la desigualdad también se cumple para $n = k+1$, es decir, que debemos demostrar que: $p^{(k+1)+1} > p((k+1)+1) + 1.$

Esto se convierte en: $p^{k+2} > p(k+2) + 1.$

Vamos a utilizar la hipótesis de inducción: $p^{k+1} > p(k+1) + 1.$

Multiplicamos ambos lados de esta desigualdad por $p$: $p \cdot p^{k+1} > p \cdot (p(k+1) + 1).$ Esto se simplifica como: $p^{k+2} > p(p(k+1) + 1).$ Distribuimos el $p$ en el lado derecho: $p^{k+2} > p^2(k+1) + p.$ Observamos que: $p^2(k+1) + p = p(k+2) + 1,$ ya que al distribuir $p$ y simplificar, obtenemos la expresión deseada. Por lo tanto, hemos demostrado que: $p^{k+2} > p(k+2) + 1.$

Conclusión

Hemos demostrado por inducción que la desigualdad $p^{n+1} > p(n+1) + 1$ se cumple para todo número primo $p$ y para $n \geq 3$.

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¿Quieres más detalles sobre algún paso en particular o tienes alguna pregunta adicional? Aquí te dejo algunas preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo aplicarías la inducción matemática a otras desigualdades?
2. ¿Cómo determinar si una desigualdad es válida para ciertos valores de $n$ y $p$?
3. ¿Qué otros métodos de demostración podrías utilizar para este tipo de problemas?
4. ¿Cómo generalizar esta demostración a otros exponentes de $p$?
5. ¿Qué otras propiedades de los números primos podrían ser útiles en este tipo de problemas?

Tip: La inducción matemática es una herramienta poderosa, pero es importante siempre comprobar la base de la inducción correctamente, ya que de ahí se construye todo el proceso.