Inequality yang diberikan adalah:

$(1 + a)^n \geq 1 + a^n$

dengan $a$ adalah bilangan real yang lebih besar dari 1, dan $n$ adalah bilangan asli.

Untuk membuktikan ketidaksamaan ini, kita dapat menggunakan induksi matematika.

Langkah 1: Basis induksi (n = 1)

Untuk $n = 1$, kita periksa kedua sisi ketidaksamaan:

Kiri: $(1 + a)^1 = 1 + a$

Kanan: $1 + a^1 = 1 + a$

Jadi, untuk $n = 1$, kedua sisi sama, yaitu: $1 + a = 1 + a$ Oleh karena itu, ketidaksamaan berlaku untuk $n = 1$.

Langkah 2: Langkah induksi (misalkan berlaku untuk n = k)

Misalkan ketidaksamaan ini berlaku untuk suatu bilangan asli $k$, yaitu: $(1 + a)^k \geq 1 + a^k$

Langkah 3: Membuktikan untuk n = k + 1

Sekarang kita akan membuktikan bahwa ketidaksamaan ini juga berlaku untuk $n = k + 1$, yaitu kita ingin menunjukkan bahwa: $(1 + a)^{k+1} \geq 1 + a^{k+1}$

Kita mulai dengan mengembangkan sisi kiri: $(1 + a)^{k+1} = (1 + a)^k (1 + a)$ Dari hipotesis induksi, kita tahu bahwa: $(1 + a)^k \geq 1 + a^k$ Jadi, kita dapat menulis: $(1 + a)^{k+1} = (1 + a)^k (1 + a) \geq (1 + a^k)(1 + a)$ Sekarang, kita kembangkan sisi kanan: $(1 + a^k)(1 + a) = 1 + a + a^k + a^{k+1}$ Dan kita ingin membuktikan bahwa: $1 + a + a^k + a^{k+1} \geq 1 + a^{k+1}$ Karena $a > 1$, jelas bahwa $a^k \geq 0$, sehingga: $1 + a + a^k + a^{k+1} \geq 1 + a^{k+1}$ Jadi, kita dapat menyimpulkan bahwa: $(1 + a)^{k+1} \geq 1 + a^{k+1}$ Dengan demikian, ketidaksamaan ini berlaku untuk $n = k + 1$.

Kesimpulan:

Dengan menggunakan induksi matematika, kita telah membuktikan bahwa untuk setiap bilangan asli $n$, ketidaksamaan berikut berlaku: $(1 + a)^n \geq 1 + a^n$ untuk setiap $a > 1$.

---

Jika Anda ingin penjelasan lebih mendalam tentang bagian tertentu atau ada pertanyaan lain, silakan tanya!

Berikut beberapa pertanyaan yang relevan:

1. Bagaimana cara menggunakan induksi matematika untuk membuktikan ketidaksamaan lain?
2. Apa saja aplikasi dari ketidaksamaan seperti ini dalam matematika?
3. Bagaimana jika $a$ adalah bilangan real yang kurang dari 1? Apakah ketidaksamaan ini tetap berlaku?
4. Apa perbedaan antara induksi matematika dan pembuktian langsung?
5. Bagaimana cara membuktikan ketidaksamaan untuk deret geometri menggunakan induksi?

Tip: Dalam induksi matematika, pastikan langkah basis induksi jelas dan langkah induksi menggunakan hipotesis induksi dengan benar.