Для нахождения неопределенного интеграла $\int (x - 2)^3 \, dx$ воспользуемся стандартной формулой для интегрирования степенной функции:

$\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C, \, \text{где } n \neq -1$

Решение:

1. Обозначим $u = x - 2$. Тогда производная $du = dx$.
2. Интеграл перепишем как: $\int (x - 2)^3 \, dx = \int u^3 \, du$
3. Применяем формулу для интегрирования степенной функции: $\int u^3 \, du = \frac{u^4}{4} + C$
4. Возвращаемся к переменной $x$: $\frac{u^4}{4} + C = \frac{(x - 2)^4}{4} + C$

Ответ:

$\int (x - 2)^3 \, dx = \frac{(x - 2)^4}{4} + C$

---

Хотите увидеть дополнительные шаги или примеры?

Вопросы для углубления:

1. Как применить метод подстановки в интегралах другого типа?
2. Что такое неопределённый интеграл, и как он связан с определённым интегралом?
3. Какие свойства степенной функции полезны для интегрирования?
4. Как использовать замену переменных в более сложных интегралах?
5. Почему $C$ всегда добавляется в неопределённых интегралах?

Совет: Для проверки правильности интегрирования всегда можно продифференцировать результат и убедиться, что получается подынтегральное выражение.