Soal tersebut meminta untuk menentukan $\frac{dy}{dx}$ dari persamaan $xy^3 - x^3y = \cos y$ dengan menggunakan turunan implisit. Mari kita selesaikan langkah demi langkah.

Langkah 1: Tuliskan persamaan

$xy^3 - x^3y = \cos y$

Langkah 2: Terapkan turunan terhadap $x$ pada kedua sisi

Kita menggunakan aturan rantai untuk semua turunan yang melibatkan $y$, karena $y$ adalah fungsi dari $x$.

1. Turunkan $xy^3$: = x \cdot 3y^2 \frac{dy}{dx} + y^3$$
2. Turunkan $-x^3y$: = -3x^2y - x^3 \frac{dy}{dx}$$
3. Turunkan $\cos y$: $\frac{d}{dx}(\cos y) = -\sin y \cdot \frac{dy}{dx}$

Langkah 3: Gabungkan semua turunan

Substitusikan hasil turunan ke dalam persamaan: $(x \cdot 3y^2 \frac{dy}{dx} + y^3) - (3x^2y + x^3 \frac{dy}{dx}) = -\sin y \frac{dy}{dx}$

Sederhanakan: $3xy^2 \frac{dy}{dx} + y^3 - 3x^2y - x^3 \frac{dy}{dx} = -\sin y \frac{dy}{dx}$

Langkah 4: Kelompokkan suku dengan $\frac{dy}{dx}$

Pisahkan semua suku yang mengandung $\frac{dy}{dx}$: $(3xy^2 - x^3 + \sin y) \frac{dy}{dx} = 3x^2y - y^3$

Langkah 5: Selesaikan untuk $\frac{dy}{dx}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{3x^2y - y^3}{3xy^2 - x^3 + \sin y}$

Kesimpulan

Hasil turunan implisitnya adalah: $\frac{dy}{dx} = \frac{3x^2y - y^3}{3xy^2 - x^3 + \sin y}$

Silakan tanyakan jika ada bagian yang ingin diperjelas!

Pertanyaan lanjutan:

1. Apa itu metode turunan implisit dan kapan digunakan?
2. Bagaimana aturan rantai membantu saat menurunkan persamaan dengan dua variabel?
3. Apa peran derivatif trigonometri seperti $-\sin y$ dalam penyelesaian ini?
4. Bagaimana cara memeriksa keakuratan turunan implisit yang diperoleh?
5. Apa contoh aplikasi nyata dari metode turunan implisit dalam fisika atau teknik?

Tip:

Selalu perhatikan suku-suku yang mengandung $\frac{dy}{dx}$ dan pisahkan mereka dari suku lainnya untuk mempermudah penyelesaian!