Для решения этой задачи воспользуемся выборочным статистическим методом, связанным с проверкой гипотез о доле брака в генеральной совокупности. Поскольку речь идет о вероятностях и выборке, вероятно, будем использовать доверительный интервал для пропорции.

---

Условие задачи:

1. С вероятностью 0,663 доля брака не превышает 6,4%.
2. В выборке доля брака составляет 0,05 (5%).
3. Необходимо проверить, можно ли с вероятностью 0,997 утверждать, что доля брака в партии не превышает 8%.

---

Подход к решению

Для проверки гипотез о доле брака воспользуемся доверительным интервалом для пропорции на основе распределения Бернулли (среднее распределение пропорции в выборке можно аппроксимировать нормальным распределением при достаточно большом размере выборки).

---

1. Определение доверительного интервала: Доверительный интервал для доли $p$ можно найти по формуле: $\hat{p} \pm z_{\alpha} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p} \cdot (1 - \hat{p})}{n}}$ где:

   • $\hat{p}$ — выборочная доля брака;
   • $z_{\alpha}$ — квантиль нормального распределения, соответствующий уровню доверия $1 - \alpha$;
   • $n$ — размер выборки.

2. Гипотеза: Проверим гипотезу, что доля брака $p$ не превышает 8% ($H_0: p \leq 0,08$) с вероятностью 0,997.

   Вероятность 0,997 соответствует значению квантили $z \approx 3$ (для нормального распределения).

---

Решение по шагам:

1. Уровень доверия и $z$-квантиль:

   • Для вероятности 0,997 квантиль нормального распределения $z = 3$.

2. Проверка критерия: Подставим значения в доверительный интервал. Нам известна выборочная доля брака $\hat{p} = 0,05$ (5%).

   При этом для вычисления доверительного интервала необходимо знать размер выборки $n$.
   В задаче это значение не указано, поэтому выразим доверительный интервал через $n$:

   $\text{Доверительный интервал: } 0,05 \pm 3 \cdot \sqrt{\frac{0,05 \cdot (1 - 0,05)}{n}}$

3. Сравнение с порогом 8%:

   • Если верхняя граница доверительного интервала не превышает $0,08$ (8%), то можно утверждать с вероятностью 0,997, что доля брака в партии не превышает 8%.

---

Дальнейшие шаги:

Чтобы дать окончательный ответ, необходимо знать размер выборки $n$. От размера выборки зависит ширина доверительного интервала.

1. Если $n$ известно, подставьте его в формулу и найдите интервал.
2. Если $n$ неизвестно, задайте конкретное значение или уточните размер выборки.

---

Вывод:

Без значения размера выборки нельзя точно проверить гипотезу. Уточните, пожалуйста, размер выборки $n$, чтобы можно было окончательно рассчитать доверительный интервал и проверить, превышает ли его верхняя граница 8%.

---

Вопросы для обсуждения:

1. Каков размер выборки $n$ в задаче?
2. Требуется ли детальный расчет для конкретных данных?
3. Каким методом был получен результат с вероятностью 0,663?
4. Нужен ли расчет доверительного интервала для других уровней вероятности?
5. Есть ли другие данные о тестируемой партии?

---

Полезный совет:

Для проверки гипотез о пропорциях всегда учитывайте размер выборки. Чем больше выборка, тем уже доверительный интервал и выше точность оценки.