쌍곡선 방정식의 유도 과정을 자세히 설명드리겠습니다.

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쌍곡선의 정의

쌍곡선은 평면에서 두 고정점(초점) $F_1$과 $F_2$로부터의 거리의 차이가 일정한 점들의 자취를 말합니다. 이 일정한 거리를 $2a$라고 하겠습니다.

즉, 쌍곡선 위의 임의의 점 $P(x, y)$에 대해 다음 조건이 성립합니다: $|PF_1 - PF_2| = 2a$

여기서 $a > 0$이고, $PF_1$과 $PF_2$는 각각 $P(x, y)$와 초점 $F_1, F_2$ 사이의 거리입니다.

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쌍곡선 방정식의 유도

1. 초점의 위치

쌍곡선의 중심을 원점 $(0, 0)$으로 두고, 초점 $F_1$과 $F_2$를 $(-c, 0)$, $(c, 0)$로 가정합니다. 여기서 $c > a$입니다.

2. 거리 공식 적용

임의의 점 $P(x, y)$에 대해 초점과의 거리를 구하면: $PF_1 = \sqrt{(x + c)^2 + y^2}, \quad PF_2 = \sqrt{(x - c)^2 + y^2}$ 그리고 쌍곡선 정의에 따라: $\Big| \sqrt{(x + c)^2 + y^2} - \sqrt{(x - c)^2 + y^2} \Big| = 2a$

3. 절대값 제거

절대값을 제거하면 두 가지 경우로 나뉩니다:

1. $\sqrt{(x + c)^2 + y^2} - \sqrt{(x - c)^2 + y^2} = 2a$
2. $\sqrt{(x - c)^2 + y^2} - \sqrt{(x + c)^2 + y^2} = 2a$

두 경우는 대칭적이므로 첫 번째 경우만 풀면 충분합니다.

4. 양변 제곱

첫 번째 경우의 양변을 제곱하여 절차를 진행합니다: $\sqrt{(x + c)^2 + y^2} = \sqrt{(x - c)^2 + y^2} + 2a$ 양변 제곱: $(x + c)^2 + y^2 = \Big(\sqrt{(x - c)^2 + y^2} + 2a\Big)^2$ 우변 전개: $(x + c)^2 + y^2 = (x - c)^2 + y^2 + 4a\sqrt{(x - c)^2 + y^2} + 4a^2$ $y^2$ 항을 약분하면: $(x + c)^2 = (x - c)^2 + 4a\sqrt{(x - c)^2 + y^2} + 4a^2$

5. 다시 양변 정리

$(x + c)^2 - (x - c)^2 = 4a\sqrt{(x - c)^2 + y^2} + 4a^2$ 좌변 전개 및 계산: $(x^2 + 2xc + c^2) - (x^2 - 2xc + c^2) = 4a\sqrt{(x - c)^2 + y^2} + 4a^2$ $4xc = 4a\sqrt{(x - c)^2 + y^2} + 4a^2$ 양변에서 $4$를 약분: $xc = a\sqrt{(x - c)^2 + y^2} + a^2$

6. 다시 제곱

양변에서 $a\sqrt{(x - c)^2 + y^2}$를 남기기 위해 정리하고 제곱 과정을 반복하면 최종적으로 다음 식을 얻을 수 있습니다: $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ 여기서: $b^2 = c^2 - a^2$

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결론

쌍곡선의 표준 방정식은 다음과 같습니다:

1. 중심이 원점이고 초점이 $x$-축 위에 있을 경우: $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$

2. 중심이 원점이고 초점이 $y$-축 위에 있을 경우: $\frac{y^2}{a^2} - \frac{x^2}{b^2} = 1$

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추가 설명 필요하신가요? 다음을 참고하세요:

1. 쌍곡선의 초점 거리 $c$는 어떻게 계산되나요?
2. 쌍곡선과 타원의 차이점은 무엇인가요?
3. $a^2, b^2, c^2$의 관계를 다른 방식으로 증명할 수 있나요?
4. 쌍곡선의 주요 성질은 무엇인가요?
5. 쌍곡선 방정식을 일반적인 좌표로 변환하려면 어떻게 하나요?

팁: 쌍곡선의 정의에서 중요한 점은 "거리의 차이가 일정하다"는 점입니다. 이를 활용하면 방정식을 빠르게 이해할 수 있습니다.