Для нахождения высоты правильной треугольной пирамиды воспользуемся следующим подходом.

Обозначим:

• $a = 8 \, \text{см}$ — длина стороны основания треугольника.
• $\theta = 120^\circ$ — плоский угол при вершине пирамиды.
• $h$ — высота пирамиды, которую нам нужно найти.
• $S$ — площадь основания пирамиды, которая является равносторонним треугольником.

Шаг 1: Площадь основания

Площадь правильного треугольника с длиной стороны $a$ можно найти по формуле:

$S = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot a^2$

Подставляем значение $a = 8$:

$S = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 8^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 64 = 16\sqrt{3} \, \text{см}^2$

Шаг 2: Найдём длину апофемы

Апофема правильной треугольной пирамиды — это расстояние от вершины пирамиды до центра основания. Она образует угол 120° с высотой пирамиды, так как плоский угол при вершине $\theta$ равен 120°.

Рассмотрим треугольник, образованный высотой пирамиды, апофемой и половиной стороны основания.

Обозначим апофему как $l$.

Из условия задачи, угол между апофемой и высотой $\theta = 120^\circ$, то можно выразить $l$ через высоту:

$l = \frac{h}{\cos(30^\circ)}$

где $\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, тогда

$l = \frac{h}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{2h}{\sqrt{3}}$

Шаг 3: Используем формулу для длины апофемы

Длину апофемы также можно выразить через сторону основания $a$:

$l = \frac{a \sqrt{3}}{3}$

Подставляем $a = 8$:

$l = \frac{8 \sqrt{3}}{3} \, \text{см}$

Шаг 4: Составляем систему уравнений

Теперь у нас есть два выражения для длины апофемы $l$:

1. $l = \frac{2h}{\sqrt{3}}$
2. $l = \frac{8 \sqrt{3}}{3}$

Приравниваем эти два выражения:

$\frac{2h}{\sqrt{3}} = \frac{8 \sqrt{3}}{3}$

Умножим обе части уравнения на $\sqrt{3}$, чтобы избавиться от знаменателя:

$2h = \frac{8 \cdot 3}{3}$

$2h = 8$

Теперь решаем относительно $h$:

$h = 4 \, \text{см}$

Таким образом, высота пирамиды $h = 4 \, \text{см}$.

---

Если вам нужно больше деталей или объяснений, не стесняйтесь спросить!

Дополнительные вопросы:

1. Как найти площадь основания правильной треугольной пирамиды?
2. В чем заключается отличие между апофемой и высотой пирамиды?
3. Как вычислить угол между апофемой и высотой пирамиды?
4. Как изменяется высота пирамиды при изменении угла при вершине?
5. Что происходит с формулой для высоты пирамиды, если основание становится квадратным?

Совет:

При решении задач на пирамиды всегда полезно делить сложную геометрическую фигуру на более простые элементы, такие как треугольники и прямоугольные треугольники.