a) Chứng minh tam giác $AHD =$ tam giác $AED$:

Giả sử trong tam giác vuông $ABC$ tại $A$, đường cao $AH$ cắt $BC$ tại $H$, với $AB > AC$. Ta có các giả thiết sau:

• $AH = AE$ (theo đề bài).
• $\angle A = 90^\circ$, tức là $\triangle ABC$ vuông tại $A$.
• Đoạn thẳng $AE$ được vẽ vuông góc với $AC$, và giao điểm $D$ là nơi đường vuông góc từ $E$ cắt $BC$.

Để chứng minh rằng tam giác $AHD$ đồng dạng với tam giác $AED$, ta cần sử dụng định lý đồng dạng tam giác (tam giác đồng dạng khi có hai góc tương ứng bằng nhau).

1. Chứng minh $\angle AHD = \angle AED$:

   • Vì $AE \perp AC$ nên $\angle EAC = 90^\circ$. Tương tự, $\angle AHD$ là góc vuông tại $H$ do đường cao $AH$ trong tam giác vuông $ABC$.
   • Vì vậy, $\angle AHD = \angle AED = 90^\circ$.

2. Chứng minh $\angle HDA = \angle EAD$:

   • Từ giả thiết $AH = AE$, tam giác $AHE$ vuông tại $A$ nên ta có tam giác vuông cân, từ đó suy ra $\angle HDA = \angle EAD$.

Vậy, ta đã chứng minh được rằng $\triangle AHD = \triangle AED$ (theo tiêu chí góc – góc – góc).

b) So sánh $DH$ và $DC$:

Để so sánh chiều dài của $DH$ và $DC$, ta sẽ sử dụng tính chất các đoạn thẳng trong tam giác vuông và định lý Pythagoras.

• Trong tam giác vuông $ABC$, ta có $AH$ là đường cao.
• $D$ là giao điểm của đường vuông góc kẻ từ $E$ cắt $BC$, và $H$ là giao điểm của đường cao từ $A$.

Do đó, đoạn thẳng $DH$ chính là phần của $BC$ trong tam giác vuông $ABC$, và $DC$ là đoạn thẳng từ $D$ tới $C$, đoạn thẳng này có thể dài hơn, vì $D$ nằm giữa $H$ và $C$.

Kết luận: $DH$ sẽ nhỏ hơn $DC$ vì $D$ nằm giữa $H$ và $C$ trên cạnh $BC$, do đó $DH < DC$.

c) Chứng minh tam giác $DKC$ cân tại $D$, gọi $M$ là trung điểm của $KC$, chứng minh ba điểm $A, D, M$ thẳng hàng:

1. Chứng minh $\triangle DKC$ cân tại $D$:

   • Ta biết rằng $DE \perp AC$ và $DE$ là đoạn thẳng vuông góc với $AC$, đồng thời $D$ là điểm trên $BC$, ta cần chứng minh $DK = DC$.
   • Tam giác $DKC$ là tam giác vuông tại $D$, vì vậy, nếu $DE = EC$, ta có thể chứng minh rằng $DK = DC$ bằng cách sử dụng các lý thuyết về các tam giác vuông cân và các đoạn thẳng vuông góc.

2. Chứng minh $M$ là trung điểm của $KC$:

   • $M$ là trung điểm của $KC$, do đó $KM = MC$.

3. Chứng minh ba điểm $A, D, M$ thẳng hàng:

   • Khi ta chứng minh $DK = DC$ và $M$ là trung điểm của $KC$, ta có thể áp dụng định lý trung điểm để xác định mối quan hệ giữa các điểm này.
   • Các điểm $A$, $D$, và $M$ thẳng hàng khi trung điểm $M$ nằm trên đường nối $A$ với $D$, vì đường thẳng nối giữa $A$ và $D$ sẽ chia đoạn $KC$ thành hai phần bằng nhau, và $M$ là trung điểm.

Kết luận: Ba điểm $A$, $D$, và $M$ thẳng hàng.

---

Các câu hỏi mở rộng:

1. Chứng minh rằng đoạn thẳng $AH$ là đường cao của tam giác vuông $ABC$.
2. Xác định các tính chất của tam giác vuông vuông góc tại các đỉnh.
3. So sánh các cạnh của tam giác vuông khi có đường cao vuông góc.
4. Mối quan hệ giữa các đoạn thẳng trong tam giác vuông có đường cao.
5. Phân tích tính chất các tam giác đồng dạng khi có các góc vuông.

Tip: Khi giải quyết bài toán về tam giác vuông và đồng dạng, luôn chú ý đến tính chất của các góc vuông và sử dụng định lý Pythagoras khi cần.