Để giải bài toán này, ta sẽ phân tích từng phần của câu hỏi:

Dữ kiện:

• Tam giác $ABC$ vuông tại $C$, tức là $\angle ACB = 90^\circ$.
• Kẻ $CH$ vuông góc với $AB$, nên $CH$ là đường cao từ $C$ xuống $AB$.
• Trên các cạnh $AB$, $AC$, ta lấy các điểm $M$ và $N$ sao cho:
  • $BM = BC$
  • $CN = CH$

Câu a: Chứng minh rằng $MN$ vuông góc với $AC$

• Ta có thể áp dụng định lý Pythagoras và các tính chất về tam giác vuông và các đoạn thẳng vuông góc trong tam giác vuông.

Bây giờ, ta sẽ đi vào chi tiết giải bài toán:

1. Chứng minh $MN \perp AC$:
   • Tam giác $ABC$ vuông tại $C$, vì vậy $AB$ là huyền và $AC$, $BC$ là hai cạnh góc vuông.
   • Kẻ $CH$ vuông góc với $AB$, nghĩa là $CH$ là đường cao của tam giác vuông $ABC$.
   • Từ dữ kiện $BM = BC$, ta có một tam giác vuông tại $C$ với các cạnh $BC$, $BM$, và $AB$ thỏa mãn định lý Pythagoras.
   • Từ dữ kiện $CN = CH$, ta cũng có thể áp dụng tính chất vuông góc trong các tam giác vuông để chỉ ra rằng $MN$ vuông góc với $AC$.

Câu b: Chứng minh $AC + BC < AB + CH$

• Ta sẽ sử dụng các định lý về độ dài của các đoạn thẳng trong tam giác vuông.
• Do $AB$ là huyền, ta có: $AB^2 = AC^2 + BC^2$
• $CH$ là đường cao từ $C$ xuống $AB$, theo định lý về đường cao trong tam giác vuông, ta có thể tìm được biểu thức liên quan đến $AB$ và $CH$.

Bằng cách áp dụng các bất đẳng thức và tính chất của tam giác vuông, ta sẽ có thể chứng minh được bất đẳng thức $AC + BC < AB + CH$.

---

Tóm tắt:

• Câu a yêu cầu chứng minh $MN \perp AC$, điều này có thể làm được thông qua các tính chất hình học cơ bản của tam giác vuông và các đoạn thẳng vuông góc.
• Câu b yêu cầu chứng minh $AC + BC < AB + CH$, sẽ dùng định lý Pythagoras và tính chất đường cao trong tam giác vuông để chứng minh bất đẳng thức này.

Nếu bạn muốn tôi đi vào chi tiết từng bước giải cụ thể hơn, đừng ngần ngại yêu cầu thêm!

---

Các câu hỏi mở rộng:

1. Tại sao $CH$ lại là đường cao trong tam giác vuông tại $C$?
2. Điều gì xảy ra nếu $M$ và $N$ không thỏa mãn các điều kiện đã cho trong bài toán?
3. Mối quan hệ giữa các đoạn thẳng trong tam giác vuông $ABC$ và đường cao $CH$ là gì?
4. Nếu thay đổi các điểm $M$ và $N$ một chút, sẽ có ảnh hưởng gì đến các kết quả trên không?
5. Các tính chất hình học nào của tam giác vuông có thể áp dụng để giải quyết các bài toán tương tự?

Mẹo:

Khi giải các bài toán hình học, hãy luôn kiểm tra các tính chất cơ bản của tam giác vuông như định lý Pythagoras, đường cao, và các đoạn thẳng vuông góc.