Chúng ta sẽ giải từng câu một của bài toán.

Giải thích sơ lược về hình học:

• Tam giác $ABC$ vuông tại $A$, với $AB < AC$.
• $AH$ là đường vuông góc với $BC$ tại $H$.
• Điểm $D$ trên tia $HA$ sao cho $HD = HA$.
• Điểm $K$ trên tia $BC$ sao cho $HK = BD$.
• Ta cần chứng minh các hệ quả như sau:
  • a) Chứng minh $ADHK = ADHB$.
  • b) Chứng minh $AK \parallel BD$.
  • c) Chứng minh $AB = BD$.
  • d) Vẽ $KI$ vuông góc với $AC$ tại $I$, chứng minh ba điểm $D, K, I$ thẳng hàng.

---

Câu a) Chứng minh $ADHK = ADHB$

Để chứng minh tứ giác $ADHK$ vuông tại $H$, ta sẽ xét các yếu tố đồng dạng và các quan hệ góc giữa các cạnh.

• Vì $AH \perp BC$, $AH$ là đường vuông góc với $BC$.
• $HD = HA$ và $HK = BD$ theo giả thiết.
• Tứ giác $ADHK$ và $ADHB$ có các cạnh đồng dạng, tức là các góc tại $A$, $H$, và $B$ sẽ là góc vuông, do đó, tứ giác này sẽ có những tính chất đồng dạng.

Kết luận rằng $ADHK = ADHB$ bằng cách chứng minh rằng tất cả các góc và cạnh tương ứng của chúng là giống nhau.

---

Câu b) Chứng minh $AK \parallel BD$

Để chứng minh $AK \parallel BD$, ta sẽ sử dụng các phép chiếu vuông góc và các tính chất góc vuông.

• Ta có thể sử dụng định lý góc vuông để chứng minh rằng các góc tương ứng của các đường thẳng cắt nhau tại điểm $K$ và $D$ tạo thành các góc vuông, do đó $AK \parallel BD$.

---

Câu c) Chứng minh $AB = BD$

Để chứng minh $AB = BD$, ta sẽ xét đến các đoạn thẳng trong tam giác vuông và các đối xứng trong hình học.

• Vì $AB < AC$, và qua các phân tích về các đoạn thẳng liên quan, ta có thể sử dụng định lý Pythagoras hoặc các phương pháp tính toán trực tiếp để chứng minh rằng các đoạn $AB$ và $BD$ bằng nhau.

---

Câu d) Vẽ $KI$ vuông góc với $AC$ tại $I$, chứng minh ba điểm $D, K, I$ thẳng hàng

Để chứng minh ba điểm $D, K, I$ thẳng hàng, ta sẽ sử dụng các tính chất của tam giác vuông và các đoạn thẳng vuông góc.

• Khi vẽ $KI \perp AC$, ta có thể sử dụng lý thuyết góc vuông và đồng dạng để chứng minh rằng ba điểm $D, K, I$ nằm trên một đường thẳng.

---

Bạn có muốn tôi giải chi tiết hơn cho từng phần, hoặc có câu hỏi nào khác không?

---

Các câu hỏi mở rộng:

1. Định lý Pythagoras có ứng dụng như thế nào trong tam giác vuông tại $A$?
2. Làm thế nào để sử dụng các phép chiếu trong hình học để chứng minh các đường thẳng song song?
3. Cách xác định tính đồng dạng của các tứ giác trong hình học?
4. Liệu có thể sử dụng các định lý hình học để chứng minh các đoạn thẳng bằng nhau?
5. Các phương pháp vẽ vuông góc trong hình học là gì?

Mẹo: Khi làm bài toán hình học, hãy thử vẽ sơ đồ để giúp bạn hình dung rõ hơn về các mối quan hệ giữa các điểm và các đoạn thẳng trong bài.