Untuk mencari fungsi lintasan geodesik dalam koordinat bola, kita harus memanfaatkan prinsip variational, khususnya dengan menggunakan persamaan geodesik yang dihasilkan dari variabel-variabel koordinat bola. Geodesik adalah jalur terpendek antara dua titik pada permukaan lengkung, yang dalam hal ini berada dalam koordinat bola.

Koordinat Bola

Koordinat bola umumnya terdiri dari tiga parameter:

1. $r$ - Jarak radial (radial distance)
2. $\theta$ - Sudut zenith (colatitude), dari 0 hingga $\pi$
3. $\phi$ - Sudut azimut (longitude), dari 0 hingga $2\pi$

Untuk permukaan bola dengan jari-jari $R$, kita anggap $r = R$ dan koordinat kita hanya bergantung pada $\theta$ dan $\phi$, yaitu:

• $r = R$ konstan,
• $\theta$ adalah sudut zenith (0 hingga $\pi$),
• $\phi$ adalah sudut azimut (0 hingga $2\pi$).

Metode Lagrangian untuk Geodesik

Untuk menemukan geodesik dalam koordinat bola, kita pertama-tama menulis metrik bola. Metrik bola (dalam koordinat $(r, \theta, \phi)$) dapat ditulis sebagai:

$ds^2 = R^2 (d\theta^2 + \sin^2\theta \, d\phi^2)$

Di sini, kita mengabaikan komponen $dr$ karena $r = R$ adalah konstan.

Langkah selanjutnya adalah menggunakan prinsip variasi untuk mencari lintasan yang meminimalkan jarak (atau lebih tepatnya, waktu). Fungsi aksi $S$ untuk lintasan geodesik adalah integral dari panjang lintasan:

$S = \int \sqrt{ds^2} = \int \sqrt{R^2 (d\theta^2 + \sin^2\theta \, d\phi^2)}$

Ini akan menyederhanakan menjadi:

$S = R \int \sqrt{d\theta^2 + \sin^2\theta \, d\phi^2}$

Karena kita ingin mencari lintasan yang mengoptimalkan jarak, kita dapat menuliskan fungsi Lagrangian $L$ untuk sistem ini:

$L = \sqrt{\dot{\theta}^2 + \sin^2\theta \, \dot{\phi}^2}$

di mana $\dot{\theta} = \frac{d\theta}{d\lambda}$ dan $\dot{\phi} = \frac{d\phi}{d\lambda}$, dengan $\lambda$ adalah parameter yang mengindikasikan lintasan.

Persamaan Gerak (Geodesik)

Untuk mendapatkan persamaan geodesik, kita gunakan persamaan Euler-Lagrange:

$\frac{d}{d\lambda} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{\theta}} \right) - \frac{\partial L}{\partial \theta} = 0$ dan $\frac{d}{d\lambda} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{\phi}} \right) - \frac{\partial L}{\partial \phi} = 0$

Karena Lagrangian tidak bergantung langsung pada $\phi$, maka $\frac{\partial L}{\partial \phi} = 0$, yang berarti $\frac{d}{d\lambda} \left( \sin^2\theta \, \dot{\phi} \right) = 0$. Hal ini menghasilkan bahwa:

$\sin^2\theta \, \dot{\phi} = \text{konstan}$

Ini adalah salah satu persamaan geodesik, yang menyatakan bahwa $\sin^2\theta \, \dot{\phi}$ adalah konstan sepanjang lintasan geodesik.

Untuk persamaan yang lebih lengkap, kita juga akan memecahkan persamaan Euler-Lagrange untuk $\theta$, yang menghasilkan persamaan diferensial untuk $\theta(\lambda)$.

Kesimpulan

Dengan langkah-langkah ini, kita mendapatkan persamaan geodesik dalam koordinat bola sebagai sistem persamaan diferensial yang harus diselesaikan. Persamaan geodesik utama dalam koordinat bola adalah:

1. $\sin^2\theta \, \dot{\phi} = \text{konstan}$,
2. Persamaan diferensial untuk $\theta$ yang diperoleh dari Euler-Lagrange.

Apakah Anda ingin saya melanjutkan untuk menyelesaikan lebih lanjut, atau ada bagian yang ingin Anda perjelas?