Math Problem Statement

Carilah fungsi lintasan untuk kasus geodesic pada koordinat bola

Solution

Untuk mencari fungsi lintasan geodesik dalam koordinat bola, kita harus memanfaatkan prinsip variational, khususnya dengan menggunakan persamaan geodesik yang dihasilkan dari variabel-variabel koordinat bola. Geodesik adalah jalur terpendek antara dua titik pada permukaan lengkung, yang dalam hal ini berada dalam koordinat bola.

Koordinat Bola

Koordinat bola umumnya terdiri dari tiga parameter:

  1. rr - Jarak radial (radial distance)
  2. θ\theta - Sudut zenith (colatitude), dari 0 hingga π\pi
  3. ϕ\phi - Sudut azimut (longitude), dari 0 hingga 2π2\pi

Untuk permukaan bola dengan jari-jari RR, kita anggap r=Rr = R dan koordinat kita hanya bergantung pada θ\theta dan ϕ\phi, yaitu:

  • r=Rr = R konstan,
  • θ\theta adalah sudut zenith (0 hingga π\pi),
  • ϕ\phi adalah sudut azimut (0 hingga 2π2\pi).

Metode Lagrangian untuk Geodesik

Untuk menemukan geodesik dalam koordinat bola, kita pertama-tama menulis metrik bola. Metrik bola (dalam koordinat (r,θ,ϕ)(r, \theta, \phi)) dapat ditulis sebagai:

ds2=R2(dθ2+sin2θdϕ2)ds^2 = R^2 (d\theta^2 + \sin^2\theta \, d\phi^2)

Di sini, kita mengabaikan komponen drdr karena r=Rr = R adalah konstan.

Langkah selanjutnya adalah menggunakan prinsip variasi untuk mencari lintasan yang meminimalkan jarak (atau lebih tepatnya, waktu). Fungsi aksi SS untuk lintasan geodesik adalah integral dari panjang lintasan:

S=ds2=R2(dθ2+sin2θdϕ2)S = \int \sqrt{ds^2} = \int \sqrt{R^2 (d\theta^2 + \sin^2\theta \, d\phi^2)}

Ini akan menyederhanakan menjadi:

S=Rdθ2+sin2θdϕ2S = R \int \sqrt{d\theta^2 + \sin^2\theta \, d\phi^2}

Karena kita ingin mencari lintasan yang mengoptimalkan jarak, kita dapat menuliskan fungsi Lagrangian LL untuk sistem ini:

L=θ˙2+sin2θϕ˙2L = \sqrt{\dot{\theta}^2 + \sin^2\theta \, \dot{\phi}^2}

di mana θ˙=dθdλ\dot{\theta} = \frac{d\theta}{d\lambda} dan ϕ˙=dϕdλ\dot{\phi} = \frac{d\phi}{d\lambda}, dengan λ\lambda adalah parameter yang mengindikasikan lintasan.

Persamaan Gerak (Geodesik)

Untuk mendapatkan persamaan geodesik, kita gunakan persamaan Euler-Lagrange:

ddλ(Lθ˙)Lθ=0\frac{d}{d\lambda} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{\theta}} \right) - \frac{\partial L}{\partial \theta} = 0 dan ddλ(Lϕ˙)Lϕ=0\frac{d}{d\lambda} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{\phi}} \right) - \frac{\partial L}{\partial \phi} = 0

Karena Lagrangian tidak bergantung langsung pada ϕ\phi, maka Lϕ=0\frac{\partial L}{\partial \phi} = 0, yang berarti ddλ(sin2θϕ˙)=0\frac{d}{d\lambda} \left( \sin^2\theta \, \dot{\phi} \right) = 0. Hal ini menghasilkan bahwa:

sin2θϕ˙=konstan\sin^2\theta \, \dot{\phi} = \text{konstan}

Ini adalah salah satu persamaan geodesik, yang menyatakan bahwa sin2θϕ˙\sin^2\theta \, \dot{\phi} adalah konstan sepanjang lintasan geodesik.

Untuk persamaan yang lebih lengkap, kita juga akan memecahkan persamaan Euler-Lagrange untuk θ\theta, yang menghasilkan persamaan diferensial untuk θ(λ)\theta(\lambda).

Kesimpulan

Dengan langkah-langkah ini, kita mendapatkan persamaan geodesik dalam koordinat bola sebagai sistem persamaan diferensial yang harus diselesaikan. Persamaan geodesik utama dalam koordinat bola adalah:

  1. sin2θϕ˙=konstan\sin^2\theta \, \dot{\phi} = \text{konstan},
  2. Persamaan diferensial untuk θ\theta yang diperoleh dari Euler-Lagrange.

Apakah Anda ingin saya melanjutkan untuk menyelesaikan lebih lanjut, atau ada bagian yang ingin Anda perjelas?

Ask a new question for Free

By Image

Drop file here or Click Here to upload

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Geodesics
Differential Equations
Lagrangian Mechanics
Spherical Coordinates

Formulas

ds^2 = R^2 (dθ^2 + sin^2θ dφ^2)
S = ∫ √(ds^2) = R ∫ √(dθ^2 + sin^2θ dφ^2)
L = √(θ̇^2 + sin²θ φ̇²)
sin²θ φ̇ = constant

Theorems

Euler-Lagrange Equations

Suitable Grade Level

University