Quiero que me ayudes con lo siguiente es un ejercicio de matematicas, Resuélvelo de la forma correcta de manera detallado todo el procedimiento paso a paso, y explica de donde sale cada cosa y tambien menciona las fórmulas a ocupar bien estructurado todo. de una manera mucho más facil y más corto rapido de resolver. Halla la ecuación general de la circunferencia que es concéntrica con la circunferencia , y que pasa por el punto (3,4) que sea un metodo mucho más facil sencilla y rapida de solucionar, claro su respuesta correcta.

Para resolver el problema de encontrar la ecuación general de una circunferencia que es concéntrica con otra circunferencia y que pasa por un punto dado, debemos entender algunos conceptos clave.

### **Conceptos Básicos:**
1. **Circunferencias concéntricas:** Son aquellas que tienen el mismo centro, pero diferentes radios.
2. **Ecuación general de una circunferencia:** La ecuación general de una circunferencia con centro \((h, k)\) y radio \(r\) es:
   \[
   (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2
   \]

3. **Transformación a la forma general:** Expandiendo la ecuación de la circunferencia, obtenemos su forma general:
   \[
   x^2 + y^2 - 2hx - 2ky + h^2 + k^2 - r^2 = 0
   \]
   o más comúnmente en la forma:
   \[
   Ax^2 + By^2 + Dx + Ey + F = 0
   \]
   donde \(A = B = 1\) para una circunferencia.

### **Paso a Paso para Resolver el Problema:**

#### **Paso 1: Identificar la circunferencia original**
La circunferencia original no se especifica, pero sabemos que necesitamos una circunferencia concéntrica con ella. Digamos que la ecuación de la circunferencia original es:

\[
(x - h)^2 + (y - k)^2 = r_1^2
\]

donde \((h, k)\) es el centro de la circunferencia original.

#### **Paso 2: Encontrar la ecuación de la nueva circunferencia concéntrica**
Dado que la nueva circunferencia es concéntrica con la original, tendrá el mismo centro \((h, k)\) pero un radio diferente \(r\). Por lo tanto, la ecuación de la nueva circunferencia es:

\[
(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2
\]

#### **Paso 3: Determinar el radio \(r\) usando el punto dado (3, 4)**
Como la circunferencia pasa por el punto \((3, 4)\), podemos sustituir este punto en la ecuación para encontrar \(r^2\):

\[
(3 - h)^2 + (4 - k)^2 = r^2
\]

#### **Paso 4: Escribir la ecuación general de la circunferencia**
Reemplazamos el valor de \(r^2\) en la ecuación de la circunferencia:

\[
(x - h)^2 + (y - k)^2 = (3 - h)^2 + (4 - k)^2
\]

#### **Paso 5: Expansión y simplificación**
Expandimos la ecuación para obtener la forma general:

\[
x^2 - 2hx + h^2 + y^2 - 2ky + k^2 = 9 - 6h + h^2 + 16 - 8k + k^2
\]

Simplificamos agrupando términos similares:

\[
x^2 + y^2 - 2hx - 2ky + (h^2 + k^2 - 25) = 0
\]

Este es el resultado en la forma general de la ecuación de la circunferencia buscada.

### **Conclusión:**
La ecuación general de la circunferencia que es concéntrica con la circunferencia original y pasa por el punto (3, 4) es:

\[
x^2 + y^2 - 2hx - 2ky + (h^2 + k^2 - 25) = 0
\]

### **Resumen del método más fácil:**
1. Usa la ecuación de la circunferencia concéntrica.
2. Sustituye el punto dado para encontrar el nuevo radio.
3. Expande y simplifica para obtener la ecuación en la forma general.

¿Te gustaría que revise otro problema o profundice en alguno de estos pasos?

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### **Preguntas Relacionadas:**
1. ¿Cómo se determina el radio de una circunferencia a partir de su ecuación?
2. ¿Cómo encontrar la ecuación de una circunferencia tangente a una recta?
3. ¿Qué diferencias hay entre la ecuación general y la ecuación ordinaria de una circunferencia?
4. ¿Cómo se deduce la ecuación de una circunferencia dados tres puntos?
5. ¿Qué métodos se pueden utilizar para encontrar el centro y el radio de una circunferencia dada en forma general?

### **Tip:** Cuando encuentres la ecuación de una circunferencia, siempre verifica el centro y el radio para asegurarte de que cumple con todas las condiciones dadas.

Quiero que me ayudes con lo siguiente es un ejercicio de matematicas, Resuélvelo de la forma correcta de manera detallado todo el procedimiento paso a paso, y explica de donde sale cada cosa y tambien menciona las fórmulas a ocupar bien estructurado todo. de una manera mucho más facil y más corto rapido de resolver. Halla la ecuación general de la circunferencia que es concéntrica con la circunferencia, y que pasa por el punto (3,4) que sea un metodo mucho más facil sencilla y rapida de solucionar, claro su respuesta correcta.

Learn how to find the general equation of a circle that is concentric with another circle and passes through the point (3,4). This detailed solution includes step-by-step procedures and the key formulas required. Suitable for students in Grades 9-12.

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