Para resolver el problema de encontrar la ecuación general de una circunferencia que es concéntrica con otra circunferencia y que pasa por un punto dado, debemos entender algunos conceptos clave.

Conceptos Básicos:

1. Circunferencias concéntricas: Son aquellas que tienen el mismo centro, pero diferentes radios.

2. Ecuación general de una circunferencia: La ecuación general de una circunferencia con centro $(h, k)$ y radio $r$ es: $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$

3. Transformación a la forma general: Expandiendo la ecuación de la circunferencia, obtenemos su forma general: $x^2 + y^2 - 2hx - 2ky + h^2 + k^2 - r^2 = 0$ o más comúnmente en la forma: $Ax^2 + By^2 + Dx + Ey + F = 0$ donde $A = B = 1$ para una circunferencia.

Paso a Paso para Resolver el Problema:

Paso 1: Identificar la circunferencia original

La circunferencia original no se especifica, pero sabemos que necesitamos una circunferencia concéntrica con ella. Digamos que la ecuación de la circunferencia original es:

$(x - h)^2 + (y - k)^2 = r_1^2$

donde $(h, k)$ es el centro de la circunferencia original.

Paso 2: Encontrar la ecuación de la nueva circunferencia concéntrica

Dado que la nueva circunferencia es concéntrica con la original, tendrá el mismo centro $(h, k)$ pero un radio diferente $r$. Por lo tanto, la ecuación de la nueva circunferencia es:

$(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$

Paso 3: Determinar el radio $r$ usando el punto dado (3, 4)

Como la circunferencia pasa por el punto $(3, 4)$, podemos sustituir este punto en la ecuación para encontrar $r^2$:

$(3 - h)^2 + (4 - k)^2 = r^2$

Paso 4: Escribir la ecuación general de la circunferencia

Reemplazamos el valor de $r^2$ en la ecuación de la circunferencia:

$(x - h)^2 + (y - k)^2 = (3 - h)^2 + (4 - k)^2$

Paso 5: Expansión y simplificación

Expandimos la ecuación para obtener la forma general:

$x^2 - 2hx + h^2 + y^2 - 2ky + k^2 = 9 - 6h + h^2 + 16 - 8k + k^2$

Simplificamos agrupando términos similares:

$x^2 + y^2 - 2hx - 2ky + (h^2 + k^2 - 25) = 0$

Este es el resultado en la forma general de la ecuación de la circunferencia buscada.

Conclusión:

La ecuación general de la circunferencia que es concéntrica con la circunferencia original y pasa por el punto (3, 4) es:

$x^2 + y^2 - 2hx - 2ky + (h^2 + k^2 - 25) = 0$

Resumen del método más fácil:

1. Usa la ecuación de la circunferencia concéntrica.
2. Sustituye el punto dado para encontrar el nuevo radio.
3. Expande y simplifica para obtener la ecuación en la forma general.

¿Te gustaría que revise otro problema o profundice en alguno de estos pasos?

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Tip: Cuando encuentres la ecuación de una circunferencia, siempre verifica el centro y el radio para asegurarte de que cumple con todas las condiciones dadas.