Para resolver este problema, necesitamos hallar la ecuación general de una circunferencia que es concéntrica con la circunferencia dada y que pasa por el punto $(3,4)$. Vamos a resolver paso a paso.

Datos del problema:

1. Ecuación de la circunferencia dada: $x^2 + y^2 - 6x + 2y - 6 = 0$

   Esta ecuación está en forma general $Ax^2 + By^2 + Dx + Ey + F = 0$.

2. Queremos encontrar la ecuación de una circunferencia concéntrica, es decir, que tiene el mismo centro que la circunferencia dada, pero que pase por el punto $(3,4)$.

Paso 1: Hallar el centro de la circunferencia dada

La ecuación de la circunferencia en forma general es: $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$ Para obtener el centro de la circunferencia, completamos cuadrados. Agrupamos los términos de $x$ y $y$:

$x^2 - 6x + y^2 + 2y = 6$

Ahora completamos el cuadrado en $x$ y en $y$.

• Para $x^2 - 6x$, tomamos la mitad del coeficiente de $x$ (que es $-6$), lo dividimos por 2 y lo elevamos al cuadrado: $\left( \frac{-6}{2} \right)^2 = 9$ Entonces, añadimos 9 dentro del paréntesis.

• Para