Pour résoudre le système et obtenir la matrice échelonnée en appliquant la méthode de Gauss, nous allons effectuer des opérations sur les lignes de la matrice $A$ pour obtenir des zéros en dessous des éléments pivots de chaque colonne. Voici la matrice donnée :

$A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 4 & -6 & 0 \\ -2 & 7 & 2 \end{pmatrix}$

Étapes de la méthode de Gauss :

Étape 1 : Normalisation de la première ligne

Divisons la première ligne $L_1$ par 2 pour obtenir un pivot de 1 dans la première colonne :

$L_1 = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0.5 & 0.5 \end{pmatrix}$

La matrice devient :

$A = \begin{pmatrix} 1 & 0.5 & 0.5 \\ 4 & -6 & 0 \\ -2 & 7 & 2 \end{pmatrix}$

Étape 2 : Élimination des éléments sous le pivot dans la première colonne

Nous allons maintenant rendre les éléments sous le pivot (dans la première colonne) égaux à zéro.

1. Pour rendre $A_{21} = 0$, faisons $L_2 = L_2 - 4 \cdot L_1$ :

   $L_2 = \begin{pmatrix} 4 & -6 & 0 \end{pmatrix} - 4 \times \begin{pmatrix} 1 & 0.5 & 0.5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -8 & -2 \end{pmatrix}$

2. Pour rendre $A_{31} = 0$, faisons $L_3 = L_3 + 2 \cdot L_1$ :

   $L_3 = \begin{pmatrix} -2 & 7 & 2 \end{pmatrix} + 2 \times \begin{pmatrix} 1 & 0.5 & 0.5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 8 & 3 \end{pmatrix}$

La matrice devient maintenant :

$A = \begin{pmatrix} 1 & 0.5 & 0.5 \\ 0 & -8 & -2 \\ 0 & 8 & 3 \end{pmatrix}$

Étape 3 : Normalisation du pivot de la deuxième ligne

Divisons la deuxième ligne $L_2$ par -8 pour obtenir un pivot de 1 dans la deuxième colonne :

$L_2 = \frac{1}{-8} \begin{pmatrix} 0 & -8 & -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0.25 \end{pmatrix}$

La matrice devient :

$A = \begin{pmatrix} 1 & 0.5 & 0.5 \\ 0 & 1 & 0.25 \\ 0 & 8 & 3 \end{pmatrix}$

Étape 4 : Élimination des éléments sous et au-dessus du pivot dans la deuxième colonne

1. Pour rendre $A_{31} = 0$, faisons $L_3 = L_3 - 8 \cdot L_2$ :

   $L_3 = \begin{pmatrix} 0 & 8 & 3 \end{pmatrix} - 8 \times \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0.25 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

2. Pour rendre $A_{11} = 0$, faisons $L_1 = L_1 - 0.5 \cdot L_2$ :

   $L_1 = \begin{pmatrix} 1 & 0.5 & 0.5 \end{pmatrix} - 0.5 \times \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0.25 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0.375 \end{pmatrix}$

La matrice devient maintenant :

$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0.375 \\ 0 & 1 & 0.25 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

Résultat final

La matrice échelonnée réduite est :

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0.375 \\ 0 & 1 & 0.25 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

Voulez-vous plus de détails sur une des étapes, ou avez-vous des questions spécifiques ?

Questions supplémentaires

1. Comment interpréter le résultat final d'une matrice échelonnée réduite ?
2. Quels sont les cas où la méthode de Gauss pourrait ne pas donner une solution unique ?
3. Comment peut-on vérifier l'exactitude des opérations de Gauss appliquées ?
4. Que se passe-t-il si une matrice est singulière lors de l'application de la méthode de Gauss ?
5. Quelle est la différence entre une matrice échelonnée et une matrice échelonnée réduite ?

Conseil : Lors de la résolution de systèmes linéaires, veillez à toujours vérifier la cohérence des étapes de réduction pour éviter les erreurs dans les calculs de pivotage.