Math Problem Statement
Приведите пример функции, определённой в каждой точке числовой прямой, но не являющейся
непрерывной ни в одной из них.
Приведите пример функции, определённой в каждой точке числовой прямой, и являющейся
непрерывной только в одной из них, а во всех остальных имеющей разрывы.
Solution
Пример 1: Функция, определённая на всей числовой прямой, но нигде не являющаяся непрерывной
Одним из примеров такой функции является функция Дирихле, которая определяется следующим образом:
\begin{cases} 1, & \text{если } x \in \mathbb{Q} \text{ (рациональное число)}, \\ 0, & \text{если } x \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q} \text{ (иррациональное число)}. \end{cases}$$ Эта функция определена для всех $$x \in \mathbb{R}$$ (на всей числовой прямой). Однако она **не является непрерывной ни в одной точке**, так как в любой окрестности любой точки найдутся как рациональные, так и иррациональные числа, и значение функции будет "скакать" между 1 и 0. ### Пример 2: Функция, определённая на всей числовой прямой и непрерывная только в одной точке Рассмотрим **функцию, зависящую от расстояния до нуля**: $$f(x) = \begin{cases} 0, & x = 0, \\ 1, & x \neq 0. \end{cases}$$ Эта функция определена на всей числовой прямой и **непрерывна только в точке $$x = 0$$**. В этой точке $$f(0) = 0$$ и предел функции при $$x \to 0$$ также равен 0, что соответствует условию непрерывности. В любой другой точке $$x \neq 0$$ значение функции резко меняется на 1, что приводит к разрыву. Хотите ли вы обсудить это подробнее или задать вопросы? ### Расширяющие вопросы 1. Какие виды разрывов существуют, и как они классифицируются? 2. Почему функция Дирихле не может быть непрерывной в рациональных или иррациональных точках? 3. Существуют ли примеры функций, которые непрерывны в конечном числе точек на числовой прямой? 4. Можно ли изменить определение функции, чтобы она стала непрерывной в двух точках? 5. Как математически обосновать разрыв для функции, определённой как $$f(x) = 1$$, если $$x \neq 0$$, и $$f(x) = 0$$ при $$x = 0$$? ### Полезный совет Для определения типа разрыва используйте пределы с обеих сторон данной точки.Ask a new question for Free
By Image
Drop file here or Click Here to upload
Math Problem Analysis
Mathematical Concepts
Continuity and Discontinuity of Functions
Real Analysis
Special Functions
Formulas
f(x) = {1, if x is rational; 0, if x is irrational} (Dirichlet Function)
f(x) = {0, if x = 0; 1, if x ≠ 0}
Theorems
Definition of Continuity
Concept of Discontinuous Functions
Suitable Grade Level
Undergraduate Mathematics
Related Recommendation
Proving the Discontinuity of the Dirichlet Function on All Real Numbers
Example of a Function Continuous at x = -2, 0, and 3 but Non-Differentiable
Continuous Functions That Are Non-Differentiable at One Point - Example and Explanation
Identifying Discontinuities in Polynomial, Rational, Trigonometric, and Exponential Functions
Finding Points of Continuity in Rational, Trigonometric, and Piecewise Functions