Math Problem Statement

Найти непрерывные функции недифференцируемые не в одной точке(записать в аналитической форме, построить график, обосновать почему недифференцированные нигде)

Solution

Примером функции, которая является непрерывной, но недифференцируемой в определенной точке, является функция f(x)=xf(x) = |x|. Она определена как:

\begin{cases} x, & x \geq 0, \\ -x, & x < 0.$$ ### Обоснование недифференцируемости: 1. **Непрерывность**: Функция $$f(x)$$ является непрерывной, так как для любой точки $$c$$ выполняется условие: $$\lim_{x \to c} f(x) = f(c).$$ В частности, в точке $$x = 0$$, левая и правая границы равны $$0$$, что совпадает со значением $$f(0) = 0$$. 2. **Недифференцируемость в $$x = 0$$**: Производная определяется как: $$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}.$$ Рассмотрим левую и правую производные: - Левая производная (при $$h \to 0^-$$): $$\lim_{h \to 0^-} \frac{f(0 + h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{-h}{h} = -1.$$ - Правая производная (при $$h \to 0^+$$): $$\lim_{h \to 0^+} \frac{f(0 + h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{h}{h} = 1.$$ Так как левая и правая производные не равны ($$-1 \neq 1$$), то функция $$f(x) = |x|$$ недифференцируема в точке $$x = 0$$. ### Построение графика: Я сейчас построю график функции $$f(x) = |x|$$. numpy as np import matplotlib.pyplot as plt # Define the function f(x) = |x| x = np.linspace(-2, 2, 500) y = np.abs(x) # Plot the function plt.figure(figsize=(8, 6)) plt.plot(x, y, label=r"$f(x) = |x|$", color='blue', linewidth=2) plt.axhline(0, color='black',linewidth=0.8, linestyle='--') plt.axvline(0, color='black',linewidth=0.8, linestyle='--') plt.title("График функции $f(x) = |x|$", fontsize=14) plt.xlabel("$x$", fontsize=12) plt.ylabel("$f(x)$", fontsize=12) plt.grid(alpha=0.5) plt.legend(fontsize=12) plt.show()График функции $$f(x) = |x|$$ показан выше. Мы видим, что функция непрерывна, но имеет "угловую точку" в $$x = 0$$, что делает её недифференцируемой в этой точке. --- ### Дополнительные примеры непрерывных функций с недифференцируемостью в одной точке: 1. $$g(x) = \sqrt{|x|}$$ (недифференцируема в $$x = 0$$). 2. $$h(x) = |x|^n$$, где $$0 < n < 1$$ (недифференцируема в $$x = 0$$). 3. Функция с разрывами в производной: $$p(x) = \begin{cases} x^2, & x \geq 0, \\ -x^2, & x < 0.$$ ### Вопросы для размышления: 1. Почему функция $$|x|$$ непрерывна, несмотря на угловую точку? 2. Какое условие определяет дифференцируемость функции в точке? 3. Можно ли найти другую функцию, недифференцируемую на всём отрезке, но непрерывную? 4. Как связана дифференцируемость с угловыми точками? 5. Какой геометрический смысл у разности производных? --- **Совет**: Чтобы проверить недифференцируемость функции в точке, изучите поведение левой и правой производных.

Ask a new question for Free

By Image

Drop file here or Click Here to upload

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Continuity
Differentiability
Piecewise Functions
Limit Definition of Derivative

Formulas

f(x) = |x|
f'(x) = lim_{h -> 0} (f(x+h) - f(x)) / h
f(x) = { x, x >= 0; -x, x < 0 }

Theorems

Continuity at a point: lim_{x -> c} f(x) = f(c)
Differentiability at a point: The left and right derivatives must be equal at that point

Suitable Grade Level

Grades 11-12