Tehtävässä käsitellään yhdistettyjä funktioita $f \circ g$ ja $g \circ f$, sekä funktion $h$ käänteisfunktion $h^{-1}$ määritysjoukkoineen. Ratkaistaan tehtävät järjestyksessä.

1. Yhdistetyt funktiot $f \circ g$ ja $g \circ f$

Annetut funktiot:

• $f(x) = 25^2 + 3 = 625 + 3 = 628$, eli $f(x) = 628$, ja määritysjoukko $M_f = ]-\infty, -1]$.
• $g(x) = -\frac{1}{5} \sqrt{x-3}$, ja määritysjoukko $M_g = [4, \infty[$.

(a) Funktion $f \circ g$ määritys:

Funktio $f \circ g$ tarkoittaa, että ensin sovelletaan funktiota $g$, ja sitten tulos sijoitetaan funktioon $f$: $(f \circ g)(x) = f(g(x))$ Koska $f(x)$ on vakio $628$ kaikilla $x \in M_f$, yhdistetty funktio on: $(f \circ g)(x) = 628$ Määritysjoukko $M_{f \circ g}$ on sama kuin $g(x)$, eli $M_{f \circ g} = [4, \infty[$.

(b) Funktion $g \circ f$ määritys:

Funktio $g \circ f$ tarkoittaa, että ensin sovelletaan funktiota $f$, ja sitten tulos sijoitetaan funktioon $g$: $(g \circ f)(x) = g(f(x))$ Koska $f(x) = 628$ kaikilla $x \in M_f$, saadaan: $g(f(x)) = g(628) = -\frac{1}{5} \sqrt{628 - 3} = -\frac{1}{5} \sqrt{625} = -\frac{1}{5} \cdot 25 = -5$ Määritysjoukko $M_{g \circ f}$ on sama kuin $M_f = ]-\infty, -1]$.

2. Funktion $h(x) = \sqrt{x^2 + 12} - 3$ käänteisfunktion määrittäminen

Funktio $h(x)$:

• $h(x) = \sqrt{x^2 + 12} - 3$, ja määritysjoukko on $x \in [-2, 0]$.

(a) Funktion käänteisfunktio $h^{-1}(x)$:

Lähdetään ratkaisemaan $y = h(x)$ yhtälöstä käänteisfunktio $h^{-1}(x)$.

1. Aloitetaan yhtälöstä $y = \sqrt{x^2 + 12} - 3$: $y + 3 = \sqrt{x^2 + 12}$
2. Korotetaan molemmat puolet toiseen potenssiin: $(y + 3)^2 = x^2 + 12$
3. Ratkaistaan $x^2$: $x^2 = (y + 3)^2 - 12$
4. Ota neliöjuuri: $x = \pm \sqrt{(y + 3)^2 - 12}$ Koska $x \in [-2, 0]$, valitaan negatiivinen juuri: $x = -\sqrt{(y + 3)^2 - 12}$ Siten käänteisfunktio on: $h^{-1}(x) = -\sqrt{(x + 3)^2 - 12}$

(b) Käänteisfunktion määritysjoukko:

Jotta $h^{-1}(x)$ on määritelty, sen sisällä oleva lauseke on positiivinen. Tutkitaan funktiota $h(x) = \sqrt{x^2 + 12} - 3$, kun $x \in [-2, 0]$:

• $h(0) = \sqrt{0^2 + 12} - 3 = \sqrt{12} - 3 = 3.464 - 3 = 0.464$
• $h(-2) = \sqrt{(-2)^2 + 12} - 3 = \sqrt{4 + 12} - 3 = \sqrt{16} - 3 = 4 - 3 = 1$

Joten määritysjoukko $M_{h^{-1}} = [0.464, 1]$.

Yhteenveto:

• $f \circ g(x) = 628$, määritysjoukko $M_{f \circ g} = [4, \infty[$
• $g \circ f(x) = -5$, määritysjoukko $M_{g \circ f} = ]-\infty, -1]$
• Funktion $h^{-1}(x) = -\sqrt{(x + 3)^2 - 12}$, määritysjoukko $M_{h^{-1}} = [0.464, 1]$

Onko sinulla kysyttävää tai haluatko tarkempia yksityiskohtia?

Seuraavat 5 kysymystä aiheesta:

1. Miten yhdistettyjen funktioiden laskut muuttuvat, jos $f(x)$ ei ole vakiofunktio?
2. Miten määrität käänteisfunktion, jos alkuperäinen funktio ei ole monotoninen?
3. Miten voidaan varmistaa, että yhdistettyjen funktioiden määritysjoukot ovat oikein määriteltyjä?
4. Miten funktioiden kuvajoukot vaikuttavat yhdistettyjen funktioiden määritysjoukkoihin?
5. Miten funktioiden derivaattoja voidaan hyödyntää yhdistettyjen funktioiden tarkastelussa?

Vinkki: Funktioiden käänteisfunktiot löytyvät helposti vaihtamalla muuttujia ja ratkaisemalla yhtälö uudelleen!