Olkoon f(x)=25^2+3 funktio, jonka määritysjoukko Mf=]−∞,−1]

Olkoon edelleen g(x)=−(1/5)*sqrt(x-3)
funktio, jonka määritysjoukko Mg=[4,∞[

Määrää yhdistetyt funktiot f∘g
ja g∘f

määritysjoukkoineen Mf∘g
, Mg∘f

Olkoon h(x)=sqrt(x^2+12)−3
, x∈[−2,0]. Määrää funktion h käänteisfunktio h^(−1)*(x) määritysjoukkoineen Mh−1. 

Tehtävässä käsitellään yhdistettyjä funktioita \( f \circ g \) ja \( g \circ f \), sekä funktion \( h \) käänteisfunktion \( h^{-1} \) määritysjoukkoineen. Ratkaistaan tehtävät järjestyksessä.

### 1. Yhdistetyt funktiot \( f \circ g \) ja \( g \circ f \)

#### Annetut funktiot:
- \( f(x) = 25^2 + 3 = 625 + 3 = 628 \), eli \( f(x) = 628 \), ja määritysjoukko \( M_f = ]-\infty, -1] \).
- \( g(x) = -\frac{1}{5} \sqrt{x-3} \), ja määritysjoukko \( M_g = [4, \infty[ \).

##### (a) Funktion \( f \circ g \) määritys:
Funktio \( f \circ g \) tarkoittaa, että ensin sovelletaan funktiota \( g \), ja sitten tulos sijoitetaan funktioon \( f \):
\[
(f \circ g)(x) = f(g(x))
\]
Koska \( f(x) \) on vakio \( 628 \) kaikilla \( x \in M_f \), yhdistetty funktio on:
\[
(f \circ g)(x) = 628
\]
Määritysjoukko \( M_{f \circ g} \) on sama kuin \( g(x) \), eli \( M_{f \circ g} = [4, \infty[ \).

##### (b) Funktion \( g \circ f \) määritys:
Funktio \( g \circ f \) tarkoittaa, että ensin sovelletaan funktiota \( f \), ja sitten tulos sijoitetaan funktioon \( g \):
\[
(g \circ f)(x) = g(f(x))
\]
Koska \( f(x) = 628 \) kaikilla \( x \in M_f \), saadaan:
\[
g(f(x)) = g(628) = -\frac{1}{5} \sqrt{628 - 3} = -\frac{1}{5} \sqrt{625} = -\frac{1}{5} \cdot 25 = -5
\]
Määritysjoukko \( M_{g \circ f} \) on sama kuin \( M_f = ]-\infty, -1] \).

### 2. Funktion \( h(x) = \sqrt{x^2 + 12} - 3 \) käänteisfunktion määrittäminen

#### Funktio \( h(x) \):
- \( h(x) = \sqrt{x^2 + 12} - 3 \), ja määritysjoukko on \( x \in [-2, 0] \).

##### (a) Funktion käänteisfunktio \( h^{-1}(x) \):
Lähdetään ratkaisemaan \( y = h(x) \) yhtälöstä käänteisfunktio \( h^{-1}(x) \).

1. Aloitetaan yhtälöstä \( y = \sqrt{x^2 + 12} - 3 \):
\[
y + 3 = \sqrt{x^2 + 12}
\]
2. Korotetaan molemmat puolet toiseen potenssiin:
\[
(y + 3)^2 = x^2 + 12
\]
3. Ratkaistaan \( x^2 \):
\[
x^2 = (y + 3)^2 - 12
\]
4. Ota neliöjuuri:
\[
x = \pm \sqrt{(y + 3)^2 - 12}
\]
Koska \( x \in [-2, 0] \), valitaan negatiivinen juuri:
\[
x = -\sqrt{(y + 3)^2 - 12}
\]
Siten käänteisfunktio on:
\[
h^{-1}(x) = -\sqrt{(x + 3)^2 - 12}
\]

##### (b) Käänteisfunktion määritysjoukko:
Jotta \( h^{-1}(x) \) on määritelty, sen sisällä oleva lauseke on positiivinen. Tutkitaan funktiota \( h(x) = \sqrt{x^2 + 12} - 3 \), kun \( x \in [-2, 0] \):

- \( h(0) = \sqrt{0^2 + 12} - 3 = \sqrt{12} - 3 = 3.464 - 3 = 0.464 \)
- \( h(-2) = \sqrt{(-2)^2 + 12} - 3 = \sqrt{4 + 12} - 3 = \sqrt{16} - 3 = 4 - 3 = 1 \)

Joten määritysjoukko \( M_{h^{-1}} = [0.464, 1] \).

### Yhteenveto:

- \( f \circ g(x) = 628 \), määritysjoukko \( M_{f \circ g} = [4, \infty[ \)
- \( g \circ f(x) = -5 \), määritysjoukko \( M_{g \circ f} = ]-\infty, -1] \)
- Funktion \( h^{-1}(x) = -\sqrt{(x + 3)^2 - 12} \), määritysjoukko \( M_{h^{-1}} = [0.464, 1] \)

Onko sinulla kysyttävää tai haluatko tarkempia yksityiskohtia?

#### Seuraavat 5 kysymystä aiheesta:
1. Miten yhdistettyjen funktioiden laskut muuttuvat, jos \( f(x) \) ei ole vakiofunktio?
2. Miten määrität käänteisfunktion, jos alkuperäinen funktio ei ole monotoninen?
3. Miten voidaan varmistaa, että yhdistettyjen funktioiden määritysjoukot ovat oikein määriteltyjä?
4. Miten funktioiden kuvajoukot vaikuttavat yhdistettyjen funktioiden määritysjoukkoihin?
5. Miten funktioiden derivaattoja voidaan hyödyntää yhdistettyjen funktioiden tarkastelussa?

**Vinkki**: Funktioiden käänteisfunktiot löytyvät helposti vaihtamalla muuttujia ja ratkaisemalla yhtälö uudelleen!

Olkoon f(x)=25^2+3 funktio, jonka määritysjoukko Mf=]−∞,−1]. Olkoon edelleen g(x)=−(1/5)*sqrt(x-3) funktio, jonka määritysjoukko Mg=[4,∞[. Määrää yhdistetyt funktiot f∘g ja g∘f määritysjoukkoineen Mf∘g, Mg∘f. Olkoon h(x)=sqrt(x^2+12)−3, x∈[−2,0]. Määrää funktion h käänteisfunktio h^(−1)*(x) määritysjoukkoineen Mh−1.

Solve the function composition of f(x)=25^2+3 and g(x)=−(1/5)√(x-3) with their domains. Find the inverse of h(x)=√(x^2+12)−3 for x∈[−2,0]. This problem involves function composition and determining the inverse, suitable for Grades 11-12.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation