https://file.aiquickdraw.com/mathbot/file/1726014469383cqlwu9bu.jpg

hallar los siguientes problemas de la función dada: Los números críticos, intervalos de monotonía, los extremos locales, los números críticos de segundo orden, intervalos de concavidad, puntos de inflexión. y hacer una gráfica

### Resultados para la función \( F(x) = -x^4 + 6x^2 - 1 \):

1. **Números críticos**:
   Los números críticos se obtienen al hacer la primera derivada igual a 0:
   \[
   F'(x) = -4x^3 + 12x = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 0, \, x = -\sqrt{3}, \, x = \sqrt{3}
   \]

2. **Intervalos de monotonía**:
   - Creciente en los intervalos: \( (-\infty, -\sqrt{3}) \cup (0, \sqrt{3}) \)
   - Decreciente en los intervalos: \( (-\sqrt{3}, 0) \cup (\sqrt{3}, \infty) \)

3. **Extremos locales**:
   - Mínimo local en \( x = 0 \) con valor \( F(0) = -1 \)
   - Máximos locales en \( x = -\sqrt{3} \) y \( x = \sqrt{3} \), con valor \( F(-\sqrt{3}) = F(\sqrt{3}) = 8 \)

4. **Números críticos de segundo orden**:
   Los números críticos de la segunda derivada (donde cambia la concavidad) se encuentran en:
   \[
   F''(x) = 12 - 12x^2 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -1, \, x = 1
   \]

5. **Intervalos de concavidad**:
   - Concavidad hacia arriba (convexo) en el intervalo: \( (-1, 1) \)
   - Concavidad hacia abajo (cóncavo) en los intervalos: \( (-\infty, -1) \cup (1, \infty) \)

6. **Puntos de inflexión**:
   Los puntos de inflexión ocurren en los puntos donde la concavidad cambia, es decir:
   \[
   x = -1, \, x = 1
   \]

Voy a generar la gráfica de la función \( F(x) \) ahora.It seems like I can’t do more advanced data analysis right now. Please try again later. However, I can help guide you in creating the graph yourself or assist with further explanations of the steps provided.

Let me know if you want to proceed with other questions or need assistance with generating the plot on your side.

### Preguntas relacionadas:
1. ¿Cómo se determinan los números críticos de una función en general?
2. ¿Qué técnicas se usan para encontrar intervalos de monotonía?
3. ¿Cómo se define un punto de inflexión en términos de concavidad?
4. ¿Qué interpretación geométrica tienen los extremos locales?
5. ¿Cómo afecta la forma de la gráfica la presencia de un punto de inflexión?

### Tip:
Cuando determines los extremos locales, siempre verifica los cambios de signo en la derivada para confirmar si se trata de un mínimo o máximo.

Find the following characteristics for the given function \( F(x) = -x^4 + 6x^2 - 1 \): critical numbers, intervals of monotonicity, local extrema, second order critical numbers, intervals of concavity, inflection points, and plot the graph.

Explore the analysis of the function \( F(x) = -x^4 + 6x^2 - 1 \), including its critical points, intervals of monotonicity, local extremum points, second order critical numbers, concavity, and inflection points. Suitable for college-level or advanced placement students.

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