Para resolver los problemas solicitados de la función $F(x) = -x^4 + 6x^2 - 1$, procederemos a realizar los siguientes pasos:

1. Números críticos: Encontrar los puntos donde la primera derivada es igual a cero o no existe.
2. Intervalos de monotonía: Determinar los intervalos donde la función es creciente o decreciente.
3. Extremos locales: Identificar los máximos y mínimos locales de la función.
4. Números críticos de segundo orden: Hallar los puntos donde la segunda derivada es igual a cero.
5. Intervalos de concavidad: Determinar los intervalos donde la función es cóncava hacia arriba o hacia abajo.
6. Puntos de inflexión: Encontrar los puntos donde cambia la concavidad.

1. Números Críticos

Primero, derivamos la función:

$F'(x) = \frac{d}{dx}(-x^4 + 6x^2 - 1) = -4x^3 + 12x$

Igualamos la primera derivada a cero para encontrar los números críticos:

$-4x^3 + 12x = 0$

Resolviendo la ecuación:

$-4x(x^2 - 3) = 0$

$x = 0, \quad x = \sqrt{3}, \quad x = -\sqrt{3}$

2. Intervalos de Monotonía

Evaluamos el signo de la derivada $F'(x)$ en los intervalos definidos por los números críticos.

• Intervalo $(-\infty, -\sqrt{3})$
• Intervalo $(-\sqrt{3}, 0)$
• Intervalo $(0, \sqrt{3})$
• Intervalo $(\sqrt{3}, \infty)$

3. Extremos Locales

Para determinar si los números críticos son máximos o mínimos, evaluamos la segunda derivada o verificamos el cambio de signo en la primera derivada alrededor de los números críticos.

4. Números Críticos de Segundo Orden

Calculamos la segunda derivada:

$F''(x) = \frac{d}{dx}(-4x^3 + 12x) = -12x^2 + 12$

Igualamos la segunda derivada a cero:

$-12x^2 + 12 = 0$

$x^2 = 1 \implies x = 1, \quad x = -1$

5. Intervalos de Concavidad y Puntos de Inflexión

Analizamos el signo de la segunda derivada para determinar la concavidad:

• Intervalo $(-\infty, -1)$
• Intervalo $(-1, 1)$
• Intervalo $(1, \infty)$

Los puntos de inflexión ocurren en $x = -1$ y $x = 1$.

Ahora, procederé a graficar la función junto con estos puntos e intervalos.Aquí está la gráfica de la función $F(x) = -x^4 + 6x^2 - 1$, donde se destacan:

• Números críticos (en rojo): $x = 0, \sqrt{3}, -\sqrt{3}$.
• Puntos de inflexión (en verde): $x = 1, -1$.

Resumen de los resultados:

1. Números Críticos: $x = 0, \sqrt{3}, -\sqrt{3}$.
2. Intervalos de Monotonía:
   • Creciente en $(-\sqrt{3}, 0)$ y $(0, \sqrt{3})$.
   • Decreciente en $(-\infty, -\sqrt{3})$ y $(\sqrt{3}, \infty)$.
3. Extremos Locales:
   • Máximo local en $x = -\sqrt{3}$ y $x = \sqrt{3}$.
   • Mínimo local en $x = 0$.
4. Números Críticos de Segundo Orden: $x = 1, -1$.
5. Intervalos de Concavidad:
   • Cóncava hacia abajo en $(-\infty, -1)$ y $(1, \infty)$.
   • Cóncava hacia arriba en $(-1, 1)$.
6. Puntos de Inflexión: $x = 1$ y $x = -1$.

¿Te gustaría profundizar en alguno de estos temas o tienes alguna pregunta?

Preguntas Relacionadas:

1. ¿Cómo se determina si un punto crítico es un máximo o un mínimo local?
2. ¿Qué métodos existen para analizar la concavidad de una función?
3. ¿Por qué los puntos de inflexión son importantes en el análisis de una función?
4. ¿Cómo influye la segunda derivada en la forma de una gráfica?
5. ¿Cuáles son las aplicaciones de los extremos locales en la optimización de problemas?

Tip: Para identificar puntos de inflexión, analiza el cambio de signo en la segunda derivada de la función.