В задании требуется исследовать функцию $y = \frac{2x^3 + 3x^2 - 2}{x^2 + 2x + 1}$ на следующие свойства:

1. Непрерывность, точки разрыва и их тип.
2. Поведение на бесконечности.
3. Асимптоты.
4. Эскиз графика функции.

Я начну анализировать этот пример поэтапно.

1. Непрерывность и точки разрыва

Данная функция представляет собой дробь, поэтому возможные точки разрыва находятся там, где знаменатель равен нулю: $x^2 + 2x + 1 = 0$ Разложим на множители: $(x + 1)^2 = 0 \implies x = -1$ Следовательно, у функции есть точка разрыва в $x = -1$. Проверим тип разрыва:

• Вычислим значение числителя в $x = -1$: $2x^3 + 3x^2 - 2 \text{ при } x = -1: \quad 2(-1)^3 + 3(-1)^2 - 2 = -2 + 3 - 2 = -1$ Таким образом, числитель не равен 0 в этой точке, а знаменатель обращается в 0. Это означает, что точка $x = -1$ является полюсом (разрыв второго рода).

2. Поведение на бесконечности

Чтобы определить поведение функции на $x \to \pm\infty$, исследуем старшие степени числителя и знаменателя: $y \approx \frac{2x^3}{x^2} = 2x \quad \text{при } |x| \to \infty.$ Функция $y$ линейно растёт на бесконечности, поэтому наклонная асимптота отсутствует (только бесконечный рост).

3. Асимптоты

Горизонтальные или наклонные асимптоты:

Поскольку степень числителя $\deg(\text{числитель}) = 3$ больше степени знаменателя $\deg(\text{знаменатель}) = 2$, горизонтальных или наклонных асимптот нет.

Вертикальная асимптота:

Вертикальная асимптота существует в точке $x = -1$, так как это точка разрыва с полюсом.

4. Эскиз графика

На основании проведённого анализа:

1. График пересекает вертикальную асимптоту в $x = -1$.
2. Функция растёт линейно на бесконечности ($y \to 2x$).
3. Имеет разрыв второго рода в $x = -1$.

Хотите, чтобы я построил график? Или разобрал детали?

Вопросы для расширения:

1. Как определить точный характер разрыва функции?
2. Как найти точку пересечения графика с осью $y$?
3. Какой вклад даёт числитель в общий вид графика?
4. Можно ли использовать производные для исследования экстремумов?
5. Как строить график без численных вычислений?

Совет: Разрывы второго рода чаще всего сопровождаются асимптотами; визуализация помогает запомнить.