Για να λύσουμε το πρόβλημα και να υπολογίσουμε τον μετασχηματισμό Fourier του διακριτού σήματος $x_s(n)$, ακολουθούμε τα παρακάτω βήματα:

---

1. Δίνεται το αναλογικό σήμα:

$x(t) = \cos(4\pi t)$

Αυτό είναι ένα ημιτονοειδές σήμα με συχνότητα $f = 2 \, \text{Hz}$ (αφού η γωνιακή συχνότητα είναι $\omega = 2\pi f$).

---

2. Δειγματοληψία του σήματος:

Η περίοδος δειγματοληψίας είναι $T_s = \frac{1}{3} \, \text{sec}$. Η συχνότητα δειγματοληψίας είναι: $f_s = \frac{1}{T_s} = 3 \, \text{Hz}$

Το διακριτό σήμα $x_s(n)$ προκύπτει δειγματοληπτώντας το $x(t)$ στα διαστήματα $t = nT_s$, όπου $n \in \mathbb{Z}$. Άρα: $x_s(n) = x(nT_s) = \cos\left(4\pi nT_s\right) = \cos\left(4\pi n \cdot \frac{1}{3}\right) = \cos\left(\frac{4\pi n}{3}\right)$

---

3. Μετασχηματισμός Fourier του διακριτού σήματος:

Ο μετασχηματισμός Fourier για διακριτά σήματα ορίζεται ως: $X_s(e^{j\omega}) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x_s(n) e^{-j\omega n}$

Επειδή το $x_s(n)$ είναι περιοδικό (λόγω του δειγματοληπτικού φαινομένου), η ανάλυσή του στον χώρο της συχνότητας περιέχει πολλαπλά φάσματα, γνωστά ως προσφάσματα (aliases).

Η αρχική συχνότητα $f = 2 \, \text{Hz}$ μετατρέπεται στη δειγματοληπτική κλίμακα ως: $f_\text{discrete} = \frac{f}{f_s} = \frac{2}{3}$

Αυτό σημαίνει ότι το κύριο φάσμα του $x_s(n)$ βρίσκεται στη συχνότητα $\pm \frac{2}{3} \, \text{Hz}$ στην κανονικοποιημένη κλίμακα $\pm \frac{2\pi}{3}$.

Λόγω του φαινομένου προσφάσματος, τα φάσματα αντιγράφονται γύρω από πολλαπλάσια της συχνότητας δειγματοληψίας. Έτσι, τα φάσματα εμφανίζονται στις συχνότητες: $\omega_k = \pm\frac{2\pi}{3} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$

---

4. Σχεδίαση του φάσματος:

Για να σχεδιάσουμε το φάσμα, παρατηρούμε ότι:

• Το κύριο φάσμα είναι στα $\pm \frac{2\pi}{3}$.
• Λόγω του περιοδικού φαινομένου στον μετασχηματισμό Fourier, το σήμα περιέχει συχνότητες $\omega_k = \pm\frac{2\pi}{3}$ με επαναλήψεις ανά $2\pi$.

Θα σχεδιάσουμε το μέγεθος του $X_s(e^{j\omega})$, που περιέχει συμμετρικές κορυφές γύρω από $\pm \frac{2\pi}{3}$, $\pm \frac{4\pi}{3}$, κ.λπ.

---

5. Απλό διάγραμμα και περιγραφή:

Βήμα 1: Χαρακτηριστικά του σήματος

• Βασική συχνότητα: $\pm \frac{2\pi}{3}$
• Επαναλήψεις: κάθε $2\pi$.

Βήμα 2: Σχεδίαση

• Οριζόντιος άξονας: $\omega$ (κανονικοποιημένη γωνιακή συχνότητα).
• Κορυφές στο μέγεθος εμφανίζονται στο $\pm \frac{2\pi}{3}, \pm \frac{4\pi}{3}, \dots$.

Θέλετε να δημιουργήσω το διάγραμμα για εσάς;