donnez la formule algébrique des nombres complexes suivants, préciser pour chacun la partie réelle et la partie imaginiare :

1. z = (2-3i)(3i)
2. z' = (2-5i)^2
3. z1 = (3-2i)(3+2i)
4. (-2+4i)^2
5. (1+i)^3
6. z2 = (1+i)/i

Pour chaque nombre complexe donné, nous allons calculer sa forme algébrique et identifier la partie réelle (Re) et la partie imaginaire (Im).

### 1. \( z = (2 - 3i)(3i) \)

Pour multiplier deux nombres complexes, nous appliquons la distributivité :

\[
z = (2 - 3i)(3i) = 2 \cdot 3i - 3i \cdot 3i = 6i - 9i^2
\]

En utilisant \( i^2 = -1 \) :

\[
z = 6i - 9(-1) = 6i + 9 = 9 + 6i
\]

- **Partie réelle (Re)**: 9
- **Partie imaginaire (Im)**: 6

### 2. \( z' = (2 - 5i)^2 \)

Pour calculer le carré d'un nombre complexe, nous développons le carré binomial :

\[
z' = (2 - 5i)^2 = 2^2 - 2 \cdot 2 \cdot 5i + (-5i)^2
\]

\[
z' = 4 - 20i + 25i^2
\]

En utilisant \( i^2 = -1 \) :

\[
z' = 4 - 20i + 25(-1) = 4 - 20i - 25 = -21 - 20i
\]

- **Partie réelle (Re)**: -21
- **Partie imaginaire (Im)**: -20

### 3. \( z_1 = (3 - 2i)(3 + 2i) \)

Il s'agit du produit de deux conjugués complexes. Utilisons la formule \( (a - bi)(a + bi) = a^2 + b^2 \) :

\[
z_1 = (3 - 2i)(3 + 2i) = 3^2 + 2^2 = 9 + 4 = 13
\]

- **Partie réelle (Re)**: 13
- **Partie imaginaire (Im)**: 0

### 4. \( z_2 = (-2 + 4i)^2 \)

Développons le carré de ce nombre complexe :

\[
z_2 = (-2 + 4i)^2 = (-2)^2 + 2(-2)(4i) + (4i)^2
\]

\[
z_2 = 4 - 16i + 16i^2
\]

En utilisant \( i^2 = -1 \) :

\[
z_2 = 4 - 16i + 16(-1) = 4 - 16i - 16 = -12 - 16i
\]

- **Partie réelle (Re)**: -12
- **Partie imaginaire (Im)**: -16

### 5. \( z_3 = (1 + i)^3 \)

Développons ce cube :

\[
z_3 = (1 + i)^3 = (1 + i)(1 + i)(1 + i)
\]

Calculons d'abord \( (1 + i)^2 \) :

\[
(1 + i)^2 = 1^2 + 2 \cdot 1 \cdot i + i^2 = 1 + 2i + (-1) = 2i
\]

Donc :

\[
z_3 = 2i(1 + i) = 2i + 2i^2 = 2i + 2(-1) = 2i - 2 = -2 + 2i
\]

- **Partie réelle (Re)**: -2
- **Partie imaginaire (Im)**: 2

### 6. \( z_4 = \frac{1+i}{i} \)

Pour diviser par un nombre complexe, nous multiplions par le conjugué de \( i \) (qui est \( -i \)) :

\[
z_4 = \frac{1+i}{i} \cdot \frac{-i}{-i} = \frac{(1+i)(-i)}{i^2}
\]

\[
z_4 = \frac{-i - i^2}{-1} = \frac{-i + 1}{-1} = -1 + i
\]

- **Partie réelle (Re)**: -1
- **Partie imaginaire (Im)**: 1

## Résumé

1. \( z = 9 + 6i \) ; Re = 9, Im = 6
2. \( z' = -21 - 20i \) ; Re = -21, Im = -20
3. \( z_1 = 13 \) ; Re = 13, Im = 0
4. \( z_2 = -12 - 16i \) ; Re = -12, Im = -16
5. \( z_3 = -2 + 2i \) ; Re = -2, Im = 2
6. \( z_4 = -1 + i \) ; Re = -1, Im = 1

Avez-vous des questions ou souhaitez-vous des détails supplémentaires ?

### Questions supplémentaires
1. Comment trouver le module d'un nombre complexe ?
2. Comment trouver l'argument d'un nombre complexe ?
3. Quelle est la forme exponentielle d'un nombre complexe ?
4. Comment additionner et soustraire des nombres complexes ?
5. Comment interpréter graphiquement un nombre complexe sur le plan complexe ?

### Conseil
Pour multiplier ou diviser des nombres complexes, il est souvent utile de les convertir en forme polaire.

donnez la formule algébrique des nombres complexes suivants, préciser pour chacun la partie réelle et la partie imaginiare : 1. z = (2-3i)(3i) 2. z' = (2-5i)^2 3. z1 = (3-2i)(3+2i) 4. (-2+4i)^2 5. (1+i)^3 6. z2 = (1+i)/i

Découvrez comment calculer la forme algébrique des nombres complexes et identifier la partie réelle et imaginaire pour chaque expression. Cette page couvre des concepts clés des nombres complexes, tels que la multiplication, le carré et la division des nombres complexes. Convient aux élèves de Grades 10-12.

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