Diketahui persamaan suku banyak 2x³ - x² + px - 6 = 0 mempunyai sepasang akar berkebalikan. Tentukan nilai p!

Diketahui persamaan suku banyak \( 2x^3 - x^2 + px - 6 = 0 \) mempunyai sepasang akar yang berkebalikan. Misalkan akar-akar persamaan tersebut adalah \( r \), \( s \), dan \( t \), dengan salah satu pasangan akar tersebut berkebalikan, misalnya \( r \) dan \( \frac{1}{r} \).

Karena akar-akarnya adalah \( r \), \( \frac{1}{r} \), dan \( t \), kita bisa menuliskan persamaan sebagai:

\[
2x^3 - x^2 + px - 6 = 2(x - r)\left(x - \frac{1}{r}\right)(x - t)
\]

Mari kita uraikan faktor \( (x - r)(x - \frac{1}{r}) \):

\[
(x - r)\left(x - \frac{1}{r}\right) = x^2 - \left(r + \frac{1}{r}\right)x + 1
\]

Sehingga persamaan di atas menjadi:

\[
2(x^3 - \left(r + \frac{1}{r}\right)x^2 + x - t\left(x^2 - \left(r + \frac{1}{r}\right)x + 1\right)) = 2x^3 - 2\left(r + \frac{1}{r}\right)x^2 + 2x - 2t\left(x^2 - \left(r + \frac{1}{r}\right)x + 1\right)
\]

Jika kita uraikan, koefisien dari \( x^2 \) pada kedua sisi persamaan harus sama. Dengan kata lain, koefisien dari \( x^2 \) pada persamaan yang diberikan adalah \( -1 \), maka:

\[
-2\left(r + \frac{1}{r}\right) + 2t = -1
\]

Setelah menyederhanakan:

\[
2\left(r + \frac{1}{r} - t\right) = 1
\]

Karena ada akar \( r \) dan \( \frac{1}{r} \), kita bisa menyatakan bahwa hasil kali dua akar berkebalikan adalah \( 1 \). Hasil kalinya juga merupakan akar konstanta, jadi:

\[
r \times \frac{1}{r} \times t = -\frac{6}{2} = -3
\]

Kita tahu \( r \times \frac{1}{r} = 1 \), maka \( t = -3 \).

Sekarang, kita gunakan sifat dari jumlah akar (koefisien \( x^2 \)):

\[
r + \frac{1}{r} + t = \frac{-1}{2}
\]

Karena \( t = -3 \), substitusi:

\[
r + \frac{1}{r} = \frac{5}{2}
\]

Dari sini kita dapatkan:

\[
2p = -2r - \frac{2}{r} - 6 = -\frac{1}{2}
\]

Sehingga, \( p = \frac{1}{2} \).

Dengan demikian, nilai \( p \) yang memenuhi syarat adalah \( \boxed{3} \).

Apakah Anda ingin penjelasan lebih lanjut atau memiliki pertanyaan lainnya? 

Berikut lima pertanyaan terkait:
1. Bagaimana cara mencari akar dari persamaan kubik secara manual?
2. Bagaimana cara memfaktorkan persamaan kubik menggunakan akar-akar yang diketahui?
3. Apa yang dimaksud dengan akar berkebalikan dalam persamaan polinomial?
4. Bagaimana cara menghitung akar rasional dari sebuah persamaan polinomial?
5. Apa hubungan antara akar-akar sebuah polinomial dan koefisiennya?

**Tip:** Saat bekerja dengan persamaan polinomial, periksa apakah ada pola akar tertentu seperti simetri atau kebalikan untuk menyederhanakan masalah.

Explore how to determine the value of p in the polynomial equation 2x³ - x² + px - 6 = 0, where the roots include a pair of inverse roots. This problem involves applying Vieta's formulas and solving for the coefficients of the polynomial equation.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation