Vamos a resolver la ecuación dada para encontrar el valor de $K$.

La ecuación es:

$\int_0^1 \left( \frac{6}{3x+4} - \frac{K}{6x+2} \right) dx = 2 \ln\left(\frac{7}{4}\right) + \frac{1}{3} \ln\left(\frac{1}{4}\right)$

Paso 1: Resolver las integrales

Comencemos resolviendo las dos integrales de la forma $\int \frac{1}{ax + b} \, dx$, que es:

$\int \frac{1}{ax + b} \, dx = \frac{1}{a} \ln |ax + b| + C$

1. Para $\frac{6}{3x + 4}$: $\int_0^1 \frac{6}{3x + 4} \, dx = 6 \int_0^1 \frac{1}{3x + 4} \, dx = 6 \left[ \frac{1}{3} \ln(3x + 4) \right]_0^1$ Evaluamos en los límites: $6 \left[ \frac{1}{3} (\ln(7) - \ln(4)) \right] = 2 (\ln(7) - \ln(4)) = 2 \ln\left( \frac{7}{4} \right)$

2. Para $\frac{K}{6x + 2}$: $\int_0^1 \frac{K}{6x + 2} \, dx = K \int_0^1 \frac{1}{6x + 2} \, dx = K \left[ \frac{1}{6} \ln(6x + 2) \right]_0^1$ Evaluamos en los límites: $K \left[ \frac{1}{6} (\ln(8) - \ln(2)) \right] = \frac{K}{6} (\ln(8) - \ln(2)) = \frac{K}{6} \ln\left( \frac{8}{2} \right) = \frac{K}{6} \ln(4)$

Paso 2: Reemplazar las integrales en la ecuación

Reemplazamos los resultados en la ecuación original:

$2 \ln\left( \frac{7}{4} \right) - \frac{K}{6} \ln(4) = 2 \ln\left( \frac{7}{4} \right) + \frac{1}{3} \ln\left( \frac{1}{4} \right)$

Paso 3: Simplificar

Cancelamos los términos iguales de ambos lados:

$- \frac{K}{6} \ln(4) = \frac{1}{3} \ln\left( \frac{1}{4} \right)$

Como $\ln\left( \frac{1}{4} \right) = -\ln(4)$, tenemos:

$- \frac{K}{6} \ln(4) = -\frac{1}{3} \ln(4)$

Multiplicamos ambos lados por $-1$:

$\frac{K}{6} \ln(4) = \frac{1}{3} \ln(4)$

Cancelamos $\ln(4)$ de ambos lados (asumiendo que $\ln(4) \neq 0$):

$\frac{K}{6} = \frac{1}{3}$

Multiplicamos ambos lados por 6:

$K = 2$

Respuesta final:

El valor de $K$ es $\boxed{2}$.

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta?

Preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo se resuelve una integral de la forma $\int \frac{1}{ax + b} dx$?
2. ¿Qué propiedades de los logaritmos se utilizaron para simplificar la ecuación?
3. ¿Qué técnicas se usan para resolver ecuaciones que involucran integrales?
4. ¿Qué significa cancelar términos iguales en ambos lados de una ecuación?
5. ¿Cómo se puede verificar el valor de $K$ resolviendo la ecuación numéricamente?

Tip: Cuando trabajes con logaritmos, recuerda que $\ln(a) - \ln(b) = \ln\left(\frac{a}{b}\right)$.