Vamos a resolver la ecuación integral y encontrar el valor de $K$.

La ecuación integral dada es:

$\int_0^1 \left( \frac{4}{10} x + 5 - \frac{K}{4} x + 2 \right) dx = \frac{2}{5} \ln(3) + \frac{3}{4} \ln\left(\frac{1}{3}\right)$

Paso 1: Simplificación del integrando

El integrando es:

$f(x) = \frac{4}{10} x + 5 - \frac{K}{4} x + 2$

Simplificamos los términos:

$f(x) = \left(\frac{4}{10} - \frac{K}{4}\right)x + 7$

Entonces, el integrando queda:

$f(x) = \left(\frac{2}{5} - \frac{K}{4}\right)x + 7$

Paso 2: Integración

Ahora integramos desde 0 hasta 1:

$\int_0^1 \left(\left(\frac{2}{5} - \frac{K}{4}\right)x + 7\right) dx$

La integral de $x$ es $\frac{x^2}{2}$ y la integral de una constante es simplemente la constante multiplicada por el intervalo. Así que:

$\int_0^1 \left(\frac{2}{5} - \frac{K}{4}\right)x dx = \left(\frac{2}{5} - \frac{K}{4}\right) \left[\frac{x^2}{2}\right]_0^1 = \frac{1}{2} \left(\frac{2}{5} - \frac{K}{4}\right)$ $\int_0^1 7 dx = 7 \times \left[ x \right]_0^1 = 7$

Entonces, la integral completa es:

$\frac{1}{2} \left(\frac{2}{5} - \frac{K}{4}\right) + 7$

Paso 3: Igualar la integral al resultado

Igualamos la integral al lado derecho de la ecuación:

$\frac{1}{2} \left(\frac{2}{5} - \frac{K}{4}\right) + 7 = \frac{2}{5} \ln(3) + \frac{3}{4} \ln\left(\frac{1}{3}\right)$

Calculamos los logaritmos:

$\frac{2}{5} \ln(3) + \frac{3}{4} \ln\left(\frac{1}{3}\right) = \frac{2}{5} \ln(3) - \frac{3}{4} \ln(3) = \left(\frac{2}{5} - \frac{3}{4}\right) \ln(3)$

El común denominador es 20:

$\frac{2}{5} = \frac{8}{20}, \quad \frac{3}{4} = \frac{15}{20}$ $\frac{2}{5} - \frac{3}{4} = \frac{8}{20} - \frac{15}{20} = -\frac{7}{20}$

Por lo tanto, el lado derecho de la ecuación es:

$-\frac{7}{20} \ln(3)$

Paso 4: Igualar términos y resolver para $K$

La ecuación se convierte en:

$\frac{1}{2} \left(\frac{2}{5} - \frac{K}{4}\right) + 7 = -\frac{7}{20} \ln(3)$

Para encontrar el valor de $K$, resolvamos el sistema completo.

**Voy a realizar los cálculos ahora.**El valor de $K$ es aproximadamente $60.68$.

¿Te gustaría más detalles sobre este proceso? Aquí tienes algunas preguntas relacionadas:

1. ¿Te gustaría ver el cálculo paso a paso de la integral?
2. ¿Necesitas ayuda para entender cómo se simplificó el lado derecho de la ecuación?
3. ¿Quieres saber cómo se obtuvieron los logaritmos naturales en la ecuación?
4. ¿Te interesa aprender cómo se resolvió la ecuación para $K$?
5. ¿Te gustaría resolver una integral similar con otros límites o funciones?

Tip: Al trabajar con ecuaciones logarítmicas y exponenciales, asegúrate de simplificar correctamente usando propiedades del logaritmo como $\ln(ab) = \ln(a) + \ln(b)$.