Math Problem Statement

                0,еслих⩽−0.6,                                                                                                                 
              1/4.06(x+0.6),если−0.6<x⩽0.7,                                                                                              

P(x)= 1/3.12,если0.7<x⩽2,
−1/7.3(x−4.34),если2<x⩽4.34,
0,еслиx>4.34. Найдите P(1.7<x<4.34) . Ответ округлить до трех знаков после точки.

Solution

Чтобы найти вероятность P(1.7<x<4.34)P(1.7 < x < 4.34), мы интегрируем функцию плотности вероятности P(x)P(x) на данном интервале:

  1. На интервале 1.7<x21.7 < x \leq 2, P(x)=13.12P(x) = \frac{1}{3.12}.
  2. На интервале 2<x4.342 < x \leq 4.34, P(x)=17.3(x4.34)P(x) = -\frac{1}{7.3}(x - 4.34).

Разделим интеграл на два подынтеграла:

P(1.7<x<4.34)=1.7213.12dx+24.3417.3(x4.34)dx.P(1.7 < x < 4.34) = \int_{1.7}^{2} \frac{1}{3.12} dx + \int_{2}^{4.34} -\frac{1}{7.3}(x - 4.34) dx.

Шаг 1: Решение первого интеграла

1.7213.12dx=13.121.72dx=13.12(21.7)=13.120.3=0.0962.\int_{1.7}^{2} \frac{1}{3.12} dx = \frac{1}{3.12} \int_{1.7}^{2} dx = \frac{1}{3.12} \cdot (2 - 1.7) = \frac{1}{3.12} \cdot 0.3 = 0.0962.

Шаг 2: Решение второго интеграла

Распишем второй интеграл: 24.3417.3(x4.34)dx.\int_{2}^{4.34} -\frac{1}{7.3}(x - 4.34) dx.

Разделим его на константы: 17.324.34(x4.34)dx.-\frac{1}{7.3} \int_{2}^{4.34} (x - 4.34) dx.

Используем стандартные правила интегрирования: (x4.34)dx=x224.34x.\int (x - 4.34) dx = \frac{x^2}{2} - 4.34x.

Подставим пределы интегрирования: [x224.34x]24.34.\left[\frac{x^2}{2} - 4.34x\right]_{2}^{4.34}.

Посчитаем значения в точках:

  1. Для x=4.34x = 4.34: (4.34)224.344.34=18.8356218.8356=9.417818.8356=9.4178.\frac{(4.34)^2}{2} - 4.34 \cdot 4.34 = \frac{18.8356}{2} - 18.8356 = 9.4178 - 18.8356 = -9.4178.
  2. Для x=2x = 2: 2224.342=428.68=28.68=6.68.\frac{2^2}{2} - 4.34 \cdot 2 = \frac{4}{2} - 8.68 = 2 - 8.68 = -6.68.

Разница: 9.4178(6.68)=9.4178+6.68=2.7378.-9.4178 - (-6.68) = -9.4178 + 6.68 = -2.7378.

Теперь умножим результат на коэффициент 17.3-\frac{1}{7.3}: 17.3(2.7378)=2.73787.30.3751.-\frac{1}{7.3} \cdot (-2.7378) = \frac{2.7378}{7.3} \approx 0.3751.

Шаг 3: Сумма интегралов

Теперь сложим результаты двух интегралов: P(1.7<x<4.34)=0.0962+0.3751=0.4713.P(1.7 < x < 4.34) = 0.0962 + 0.3751 = 0.4713.

Ответ:

P(1.7<x<4.34)0.471.P(1.7 < x < 4.34) \approx 0.471.

Если нужно больше объяснений или есть вопросы, дайте знать!

5 связанных вопросов:

  1. Как вычислять интегралы для функций плотности вероятности?
  2. Что такое функция плотности вероятности и её свойства?
  3. Как найти вероятность на интервале для кусочной функции?
  4. Что означает нормализация плотности вероятности?
  5. Как использовать численные методы для вычисления интегралов?

Совет: Всегда проверяйте, чтобы интеграл плотности вероятности по всей области определений был равен 1.

Ask a new question for Free

By Image

Drop file here or Click Here to upload

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Piecewise Functions
Integration
Probability Density Functions

Formulas

P(1.7 < x < 4.34) = ∫ from 1.7 to 2 (1/3.12) dx + ∫ from 2 to 4.34 (-1/7.3)(x - 4.34) dx
∫ a dx = ax + C
∫ x dx = (x^2)/2 + C
∫ c dx = c(x2 - x1) where c is a constant

Theorems

Fundamental Theorem of Calculus
Properties of Definite Integrals

Suitable Grade Level

College Level