Calcule P(0.61<X<2.5)
 para uma variável aleatória com a função densidade de probabilidade (Observamos que C é uma constante de normalização a ser determinada): \newlinef(x)={0Cx<0 ou 1≤x<2,x≥30≤x<1 ou 2≤x<3
.
Questão 1Escolha uma opção:

a.
0.25

b.
0.75

c.
0.695

d.
0.445

e.
0.305

Para resolver a questão, devemos calcular \( P(0.61 < X < 2.5) \) para a variável aleatória com a função densidade de probabilidade \( f(x) \). A função densidade \( f(x) \) é dada por:

\[
f(x) = 
\begin{cases}
0, & \text{se } x < 0 \text{ ou } 1 \leq x < 2, \text{ ou } x \geq 3, \\
C, & \text{se } 0 \leq x < 1 \text{ ou } 2 \leq x < 3.
\end{cases}
\]

### Passos:

1. **Determinar a constante de normalização \( C \):**
   A função de densidade de probabilidade deve integrar-se a 1 sobre todo o domínio possível. Assim, precisamos calcular a integral de \( f(x) \) em todas as regiões onde \( f(x) = C \):

   \[
   \int_0^1 C \, dx + \int_2^3 C \, dx = 1.
   \]

   Calculando as integrais:

   \[
   C \cdot (1 - 0) + C \cdot (3 - 2) = 1,
   \]
   \[
   C \cdot 1 + C \cdot 1 = 1,
   \]
   \[
   2C = 1 \quad \Rightarrow \quad C = \frac{1}{2}.
   \]

2. **Calcular \( P(0.61 < X < 2.5) \):**
   Agora que temos \( C = \frac{1}{2} \), podemos calcular a probabilidade pedida. Para isso, devemos integrar a função densidade de probabilidade \( f(x) \) nos intervalos relevantes.

   O intervalo \( 0.61 < X < 2.5 \) pode ser dividido em duas partes:
   - \( 0.61 < X < 1 \) onde \( f(x) = \frac{1}{2} \),
   - \( 2 < X < 2.5 \) onde \( f(x) = \frac{1}{2} \).

   Portanto, temos:

   \[
   P(0.61 < X < 2.5) = \int_{0.61}^1 \frac{1}{2} \, dx + \int_2^{2.5} \frac{1}{2} \, dx.
   \]

3. **Resolvendo as integrais:**
   - \( \int_{0.61}^1 \frac{1}{2} \, dx = \frac{1}{2} \cdot (1 - 0.61) = \frac{1}{2} \cdot 0.39 = 0.195 \),
   - \( \int_2^{2.5} \frac{1}{2} \, dx = \frac{1}{2} \cdot (2.5 - 2) = \frac{1}{2} \cdot 0.5 = 0.25 \).

4. **Somando os resultados:**
   \[
   P(0.61 < X < 2.5) = 0.195 + 0.25 = 0.445.
   \]

### Resposta:
A resposta correta é **d. 0.445**.

---

Quer mais detalhes ou alguma dúvida? Aqui estão algumas perguntas relacionadas:

1. Como se determina a constante de normalização em uma função densidade de probabilidade?
2. O que significa uma função densidade de probabilidade ser contínua?
3. Como interpretar o resultado de uma probabilidade cumulativa em uma variável aleatória?
4. Quais são os principais métodos de integração para calcular probabilidades?
5. O que diferencia uma função densidade de probabilidade de uma função de distribuição cumulativa?

**Dica:** Sempre verifique se a função densidade de probabilidade se integra a 1 antes de calcular probabilidades!

Calcule P(0.61<X<2.5) para uma variável aleatória com a função densidade de probabilidade (Observamos que C é uma constante de normalização a ser determinada): \newlinef(x)={0Cx<0 ou 1≤x<2,x≥30≤x<1 ou 2≤x<3. Questão 1Escolha uma opção: a. 0.25 b. 0.75 c. 0.695 d. 0.445 e. 0.305

Learn how to calculate the probability P(0.61 < X < 2.5) for a variable with a piecewise probability density function. This problem involves key concepts in probability and integration, including determining the normalization constant for the function. Suitable for undergraduate students.

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