Problema ta se referă la găsirea unei permutări $x$ astfel încât $x^2 = (1\ 3)(2\ 4)$.

Soluție:

1. Observarea permutării dorite:

   • $(1\ 3)(2\ 4)$ este o permutare care comută 1 cu 3 și 2 cu 4.

2. Determinarea permutării $x$:

   • Pentru a găsi permutarea $x$, trebuie să găsim o permutare care, aplicată de două ori, dă rezultatul $(1\ 3)(2\ 4)$.
   • Dacă $x^2 = (1\ 3)(2\ 4)$, atunci $x$ trebuie să fie o permutare cu cicli de lungime 4, deoarece în acest caz, ridicarea la pătrat a unei astfel de permutări dă ca rezultat un produs de două transpoziții.

3. Găsirea permutării:

   • O permutare care ar satisface această condiție este $x = (1\ 3\ 2\ 4)$.
   • Verificare: $(1\ 3\ 2\ 4) \times (1\ 3\ 2\ 4)$ va face:
     • $1$ → $3$ → $3$,
     • $3$ → $2$ → $4$,
     • $2$ → $4$ → $2$,
     • $4$ → $1$ → $1$.

   Deci, rezultatul este $(1\ 3)(2\ 4)$, ceea ce confirmă că $x = (1\ 3\ 2\ 4)$.

Răspunsul final:

Permutarea $x$ este $(1\ 3\ 2\ 4)$.

---

Dorești detalii suplimentare sau ai alte întrebări?

Întrebări adiționale:

1. Ce este o permutare și cum funcționează?
2. Cum se determină ordinea unei permutări?
3. Ce sunt cicli într-o permutare?
4. Cum se efectuează produsul a două permutări?
5. Ce alte permutări au proprietatea de a avea pătratul lor egal cu $(1\ 3)(2\ 4)$?
6. Cum se calculează inversul unei permutări?
7. Cum se rezolvă ecuații similare cu permutări?
8. Care sunt aplicațiile practice ale permutărilor în matematică?

Tip:

În permutări, produsul ciclic este foarte util pentru simplificarea operațiilor și găsirea rezultatelor rapide.